254 lines
9.2 KiB
Markdown
254 lines
9.2 KiB
Markdown
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
|
||
|
||
Санкт-Петербургский государственный
|
||
|
||
электротехнический университет
|
||
|
||
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
|
||
|
||
Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры
|
||
|
||
(МИТ)
|
||
|
||
ОТЧЕТ
|
||
|
||
**по ИДЗ**
|
||
|
||
**по дисциплине «ОЭиР»**
|
||
|
||
****Тема: Исследование контактных явлений в структуре
|
||
металл-полупроводник****
|
||
|
||
****Вариант 14,6,3****
|
||
|
||
https://www.meme-arsenal.com/memes/4598e00877a721c55a46dc4aafb78719.jpg
|
||
|
||
------------------ -- -------------
|
||
Студент гр. 1181 Шишков Д.А.
|
||
Преподаватель Филипюк И.А
|
||
------------------ -- -------------
|
||
|
||
Санкт-Петербург
|
||
|
||
2023
|
||
|
||
Задание:
|
||
|
||
Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства
|
||
заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и
|
||
вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур,
|
||
дать рекомендации по применению исследуемого контакта.
|
||
|
||
Таблица 1. Некоторые свойства металлов
|
||
|
||
<table>
|
||
<tbody>
|
||
<tr class="odd">
|
||
<td><p>No</p>
|
||
<p>ВАР.</p></td>
|
||
<td>Элемент</td>
|
||
<td>Структура</td>
|
||
<td>Атомная масса</td>
|
||
<td>Параметр решетки, Å</td>
|
||
<td>Плотность, г/см3</td>
|
||
<td>Удельное сопротивление, мкОм·см</td>
|
||
<td>Температура, К</td>
|
||
<td>Работа выхода φ, эВ</td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
</tr>
|
||
<tr class="even">
|
||
<td>Дебая (TD)</td>
|
||
<td>Ферми (TF·10<sup>-4</sup>)</td>
|
||
<td>плавления (Tпл)</td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
<td></td>
|
||
</tr>
|
||
<tr class="odd">
|
||
<td>14</td>
|
||
<td>Au</td>
|
||
<td>ГЦК</td>
|
||
<td>196.9</td>
|
||
<td>4.08</td>
|
||
<td>19.28</td>
|
||
<td>2.2</td>
|
||
<td>165</td>
|
||
<td>6.39</td>
|
||
<td>1337</td>
|
||
<td>4.58</td>
|
||
</tr>
|
||
</tbody>
|
||
</table>
|
||
|
||
1\) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и
|
||
обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры
|
||
Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К.
|
||
|
||
Гранецентрированная Кубическая решётка
|
||
|
||
Формула симметрии: 3L~4~4L~3~6L~2~9PC
|
||
|
||
Класс симметрии: m3m
|
||
|
||
Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают,
|
||
приведём на рис. 1-3 изображения осей, плоскостей и центра симметрии для
|
||
последнего
|
||
|
||
{width="3.4504in"
|
||
height="2.9512in"}
|
||
|
||
Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки
|
||
|
||
{width="4.5437in"
|
||
height="3.0126in"}
|
||
|
||
Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба
|
||
|
||
{width="2.0882in"
|
||
height="2.4307in"}
|
||
|
||
Рис. 3 Изображение центра симметрии куба
|
||
|
||
Базисные вектора:
|
||
|
||
$$a_{1} = \begin{bmatrix}
|
||
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
0 \\
|
||
\end{bmatrix}$$, $$a_{2} = \begin{bmatrix}
|
||
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
0 \\
|
||
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
\end{bmatrix}$$, $$a_{3} = \begin{bmatrix}
|
||
0 \\
|
||
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
|
||
\end{bmatrix}$$, считая, что постоянная решётки = 1
|
||
|
||
Построим кристаллическую решётку по заданным векторам (рис. 4)
|
||
|
||
{width="2.6874in"
|
||
height="2.4583in"}
|
||
|
||
Рис. 4 ГЦК
|
||
|
||
Объём элементарной ячейки:
|
||
|
||
$$V = {|{\overrightarrow{a_{1}} \cdot \left\lbrack {\overrightarrow{a_{2}} \times a_{3}} \right\rbrack}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
|
||
|
||
Базисные вектора обратной решётки:
|
||
|
||
$${a_{i}^{\ast} = \frac{2\pi}{V}}\left\lbrack {a_{j} \times a_{k}} \right\rbrack,{i \neq j \neq k}$$
|
||
|
||
$$a_{1}^{\ast} = \begin{bmatrix}
|
||
{\sqrt{2}\pi} \\
|
||
{{- \sqrt{2}}\pi} \\
|
||
{{- \sqrt{2}}\pi} \\
|
||
\end{bmatrix}$$, $$a_{2}^{\ast} = \begin{bmatrix}
|
||
{{- \sqrt{2}}\pi} \\
|
||
{\sqrt{2}\pi} \\
|
||
{{- \sqrt{2}}\pi} \\
|
||
\end{bmatrix}$$, $$a_{3}^{\ast} = \begin{bmatrix}
|
||
{{- \sqrt{2}}\pi} \\
|
||
{{- \sqrt{2}}\pi} \\
|
||
{\sqrt{2}\pi} \\
|
||
\end{bmatrix}$$
|
||
|
||
Изобразим её на рис. 5
|
||
|
||
{width="4.128in"
|
||
height="3.6374in"}
|
||
|
||
Рис. 5 Обратная решётка ГЦК
|
||
|
||
Первая зона Бриллюэна (рис. 6):
|
||
|
||
{width="4.6874in"
|
||
height="2.9689in"}
|
||
|
||
Рис. 6 Первая зона Бриллюэна
|
||
|
||
Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:
|
||
|
||
$$X = \begin{bmatrix}
|
||
0 \\
|
||
0 \\
|
||
1 \\
|
||
\end{bmatrix}$$ - центр верхнего квадрата
|
||
|
||
$$L = \begin{bmatrix}
|
||
0.5 \\
|
||
0.5 \\
|
||
0.5 \\
|
||
\end{bmatrix}$$ - центр шестиугольника
|
||
|
||
$$K = \begin{bmatrix}
|
||
0.75 \\
|
||
0.75 \\
|
||
0 \\
|
||
\end{bmatrix}$$ - середина грани соединяющей два шестиугольника
|
||
|
||
2\) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия
|
||
касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости
|
||
теории свободных электронов.
|
||
|
||
В момент касания волновой вектор kф, соответствующий радиусу сферы
|
||
Ферми, равен волновому вектору kз, при котором в направлении,
|
||
перпендикулярном отражающим плоскостям, выполняется уравнение
|
||
Вульфа-Брэггов. Условия касания для двумерной модели можно записать в
|
||
виде $$k_{ф} = k_{з}$$ или, поскольку $${k = 2}\frac{\pi}{\lambda}$$, то
|
||
$$\lambda_{ф} = \lambda_{з}$$.
|
||
|
||
Объем сферы Ферми в пространстве импульсов равен
|
||
$$\frac{4}{3}\pi p_{ф}^{3}$$ , где $$p_{ф}$$ -- импульс электронов на
|
||
поверхности Ферми. С другой стороны, этот же объем равен
|
||
$$\frac{N}{2}\frac{h^{3}}{V}$$, где N -- число электронов в объеме V.
|
||
Таким образом:
|
||
|
||
$$\frac{4}{3}\pi{p_{ф}^{3} = \frac{N}{2}}\frac{h^{3}}{V}$$
|
||
|
||
Откуда находим:
|
||
|
||
$${p_{ф} = h}\left( \frac{3N}{8\pi V} \right)^{1/3}$$
|
||
|
||
Поскольку по соотношению де-Бройля $$\lambda = \frac{h}{p}$$, то
|
||
$$\lambda_{ф} = \left( \frac{8\pi V}{3N} \right)^{1/3}$$
|
||
|
||
Найдем теперь λз. Из всех граней первой зоны Бриллюэна для
|
||
гранецентрированной решетки ближе всего к началу координат находятся
|
||
грани, обусловленные отражением электронов от плоскостей {111}. Поэтому
|
||
сфера Ферми впервые коснется именно этих граней. Таким образом, для
|
||
определения условий касания сферы с первой зоной Бриллюэна необходимо
|
||
найти длину волны, при которой электроны взаимодействуют с плоскостями
|
||
{111}. Из уравнения Вульфа -- Бреггов
|
||
$${\mathit{n\lambda} = 2}d\mathit{sin\theta}$$ находим:
|
||
|
||
3
|
||
|
||
$${\lambda_{з} = 2}{d = 2}{\frac{a}{\sqrt{H^{2} + K^{2} + L^{2}}} = 2}\frac{a}{\sqrt{3}}$$
|
||
|
||
(здесь θ = 90°, так как в точке касания волновой вектор перпендикулярен
|
||
к плоскостям {111}; п = 1, так как λ--наибольшее)
|
||
|
||
Если в объеме V число атомов Na, то число элементарных ячеек будет
|
||
$$\frac{N_{a}}{4}$$, так как на одну ячейку гранецентрированной решетки
|
||
приходится четыре атома, тогда $${V = a^{3}}\frac{N_{a}}{4}$$
|
||
|
||
Откуда $$a = \left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$, следовательно
|
||
$${\lambda_{з} = \frac{2}{\sqrt{3}}}\left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$
|
||
|
||
Возводя обе части этого тождества в куб и произведя необходимые
|
||
сокращения, получаем:
|
||
|
||
$$\frac{N}{N_{a}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = 1.36$$
|
||
|
||
Список литературы:
|
||
|
||
Астанин В.В. Физика твёрдого тела
|