readme

README.md

@@ -0,0 +1,253 @@
+МИНОБРНАУКИ РОССИИ
+
+Санкт-Петербургский государственный
+
+электротехнический университет
+
+«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
+
+Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры
+
+(МИТ)
+
+ОТЧЕТ
+
+**по ИДЗ**
+
+**по дисциплине «ОЭиР»**
+
+****Тема: Исследование контактных явлений в структуре
+металл-полупроводник****
+
+****Вариант 14,6,3****
+
+https://www.meme-arsenal.com/memes/4598e00877a721c55a46dc4aafb78719.jpg
+
+  ------------------ -- -------------
+  Студент гр. 1181      Шишков Д.А.
+  Преподаватель         Филипюк И.А
+  ------------------ -- -------------
+
+Санкт-Петербург
+
+2023
+
+Задание:
+
+Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства
+заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и
+вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур,
+дать рекомендации по применению исследуемого контакта.
+
+Таблица 1. Некоторые свойства металлов
+
+<table>
+<tbody>
+<tr class="odd">
+<td><p>No</p>
+<p>ВАР.</p></td>
+<td>Элемент</td>
+<td>Структура</td>
+<td>Атомная масса</td>
+<td>Параметр решетки, Å</td>
+<td>Плотность, г/см3</td>
+<td>Удельное сопротивление, мкОм·см</td>
+<td>Температура, К</td>
+<td>Работа выхода φ, эВ</td>
+<td></td>
+<td></td>
+</tr>
+<tr class="even">
+<td>Дебая (TD)</td>
+<td>Ферми (TF·10<sup>-4</sup>)</td>
+<td>плавления (Tпл)</td>
+<td></td>
+<td></td>
+<td></td>
+<td></td>
+<td></td>
+<td></td>
+<td></td>
+<td></td>
+</tr>
+<tr class="odd">
+<td>14</td>
+<td>Au</td>
+<td>ГЦК</td>
+<td>196.9</td>
+<td>4.08</td>
+<td>19.28</td>
+<td>2.2</td>
+<td>165</td>
+<td>6.39</td>
+<td>1337</td>
+<td>4.58</td>
+</tr>
+</tbody>
+</table>
+
+1\) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и
+обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры
+Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К.
+
+Гранецентрированная Кубическая решётка
+
+Формула симметрии: 3L~4~4L~3~6L~2~9PC
+
+Класс симметрии: m3m
+
+Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают,
+приведём на рис. 1-3 изображения осей, плоскостей и центра симметрии для
+последнего
+
+![](pictures/Pictures/100000010000015E00000147D7C1BAAC07F91159.png){width="3.4504in"
+height="2.9512in"}
+
+Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки
+
+![](pictures/Pictures/10000001000001CC00000131EEA170A8799B8110.png){width="4.5437in"
+height="3.0126in"}
+
+Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба
+
+![](pictures/Pictures/10000001000000DC00000100F9B19430CB57B85C.png){width="2.0882in"
+height="2.4307in"}
+
+Рис. 3 Изображение центра симметрии куба
+
+Базисные вектора:
+
+$$a_{1} = \begin{bmatrix}
+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+0 \\
+\end{bmatrix}$$, $$a_{2} = \begin{bmatrix}
+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+0 \\
+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+\end{bmatrix}$$, $$a_{3} = \begin{bmatrix}
+0 \\
+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+\end{bmatrix}$$, считая, что постоянная решётки = 1
+
+Построим кристаллическую решётку по заданным векторам (рис. 4)
+
+![](pictures/Pictures/1000000100000102000000EC388FD10724EFA862.png){width="2.6874in"
+height="2.4583in"}
+
+Рис. 4 ГЦК
+
+Объём элементарной ячейки:
+
+$$V = {|{\overrightarrow{a_{1}} \cdot \left\lbrack {\overrightarrow{a_{2}} \times a_{3}} \right\rbrack}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
+
+Базисные вектора обратной решётки:
+
+$${a_{i}^{\ast} = \frac{2\pi}{V}}\left\lbrack {a_{j} \times a_{k}} \right\rbrack,{i \neq j \neq k}$$
+
+$$a_{1}^{\ast} = \begin{bmatrix}
+{\sqrt{2}\pi} \\
+{{- \sqrt{2}}\pi} \\
+{{- \sqrt{2}}\pi} \\
+\end{bmatrix}$$, $$a_{2}^{\ast} = \begin{bmatrix}
+{{- \sqrt{2}}\pi} \\
+{\sqrt{2}\pi} \\
+{{- \sqrt{2}}\pi} \\
+\end{bmatrix}$$, $$a_{3}^{\ast} = \begin{bmatrix}
+{{- \sqrt{2}}\pi} \\
+{{- \sqrt{2}}\pi} \\
+{\sqrt{2}\pi} \\
+\end{bmatrix}$$
+
+Изобразим её на рис. 5
+
+![](pictures/Pictures/10000001000002D0000003619A2670E62D0CE93C.png){width="4.128in"
+height="3.6374in"}
+
+Рис. 5 Обратная решётка ГЦК
+
+Первая зона Бриллюэна (рис. 6):
+
+![](pictures/Pictures/10000001000001C20000011D0C7FC81F7FC396D5.png){width="4.6874in"
+height="2.9689in"}
+
+Рис. 6 Первая зона Бриллюэна
+
+Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:
+
+$$X = \begin{bmatrix}
+0 \\
+0 \\
+1 \\
+\end{bmatrix}$$ - центр верхнего квадрата
+
+$$L = \begin{bmatrix}
+0.5 \\
+0.5 \\
+0.5 \\
+\end{bmatrix}$$ - центр шестиугольника
+
+$$K = \begin{bmatrix}
+0.75 \\
+0.75 \\
+0 \\
+\end{bmatrix}$$ - середина грани соединяющей два шестиугольника
+
+2\) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия
+касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости
+теории свободных электронов.
+
+В момент касания волновой вектор kф, соответствующий радиусу сферы
+Ферми, равен волновому вектору kз, при котором в направлении,
+перпендикулярном отражающим плоскостям, выполняется уравнение
+Вульфа-Брэггов. Условия касания для двумерной модели можно записать в
+виде $$k_{ф} = k_{з}$$ или, поскольку $${k = 2}\frac{\pi}{\lambda}$$, то
+$$\lambda_{ф} = \lambda_{з}$$.
+
+Объем сферы Ферми в пространстве импульсов равен
+$$\frac{4}{3}\pi p_{ф}^{3}$$ , где $$p_{ф}$$ -- импульс электронов на
+поверхности Ферми. С другой стороны, этот же объем равен
+$$\frac{N}{2}\frac{h^{3}}{V}$$, где N -- число электронов в объеме V.
+Таким образом:
+
+$$\frac{4}{3}\pi{p_{ф}^{3} = \frac{N}{2}}\frac{h^{3}}{V}$$
+
+Откуда находим:
+
+$${p_{ф} = h}\left( \frac{3N}{8\pi V} \right)^{1/3}$$
+
+Поскольку по соотношению де-Бройля $$\lambda = \frac{h}{p}$$, то
+$$\lambda_{ф} = \left( \frac{8\pi V}{3N} \right)^{1/3}$$
+
+Найдем теперь λз. Из всех граней первой зоны Бриллюэна для
+гранецентрированной решетки ближе всего к началу координат находятся
+грани, обусловленные отражением электронов от плоскостей {111}. Поэтому
+сфера Ферми впервые коснется именно этих граней. Таким образом, для
+определения условий касания сферы с первой зоной Бриллюэна необходимо
+найти длину волны, при которой электроны взаимодействуют с плоскостями
+{111}. Из уравнения Вульфа -- Бреггов
+$${\mathit{n\lambda} = 2}d\mathit{sin\theta}$$ находим:
+
+3
+
+$${\lambda_{з} = 2}{d = 2}{\frac{a}{\sqrt{H^{2} + K^{2} + L^{2}}} = 2}\frac{a}{\sqrt{3}}$$
+
+(здесь θ = 90°, так как в точке касания волновой вектор перпендикулярен
+к плоскостям {111}; п = 1, так как λ--наибольшее)
+
+Если в объеме V число атомов Na, то число элементарных ячеек будет
+$$\frac{N_{a}}{4}$$, так как на одну ячейку гранецентрированной решетки
+приходится четыре атома, тогда $${V = a^{3}}\frac{N_{a}}{4}$$
+
+Откуда $$a = \left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$, следовательно
+$${\lambda_{з} = \frac{2}{\sqrt{3}}}\left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$
+
+Возводя обе части этого тождества в куб и произведя необходимые
+сокращения, получаем:
+
+$$\frac{N}{N_{a}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = 1.36$$
+
+Список литературы:
+
+Астанин В.В. Физика твёрдого тела