Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур, дать рекомендации по применению исследуемого контакта.

Таблица 1. Некоторые свойства металлов

ВАР.

Элемент

Структура

Атомная масса

Параметр решетки, Å

Плотность, г/см3

Удельное сопротивление, мкОм·см

Температура, К

Работа выхода φ, эВ

Дебая (TD)

Ферми (TF·10^-4)

плавления (Tпл)

ГЦК

196.9

4.08

19.28

2.2

165

6.39

1337

4.58

Таблица 2. Свойства cобственных полупроводников

№ ВАР.

Тип примеси

Полупроводник

Ширина запрещённой области

Эффективная масса

Подвижность при 300К

Работа выхода, Эв

E_G (300 К), Эв

m"n/me

m’’p/me

μn,

см2·В1·с1

μp,

см2·В1·с1

InSb

0.17

0.0133

0.6

76000

5000

4.75

Таблица 3. Концентрация n- и p- примесей в полупроводниках

№ вар.	3
концентрация примесей, м^-3	10²²

1) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К.

1.1) Металл — золото (Au):

Структура: Гранецентрированная кубическая решётка

Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC

Класс симметрии: m3m

Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают, на рис. 1-3 приведены изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего

Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки

Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба

Рис. 3 Изображение центра симметрии куба

Базисные вектора:

, ,

Подставляя параметр решётки

, ,

Кристаллическая решётка по заданным векторам построена на рис. 4

Рис. 4 Тройка основных векторов для ГЦК решётки

Объём элементарной ячейки:

Базисные вектора обратной решётки:

;

, ,

Что соответствует ОЦК. Её изображение на рис. 5.

Рис. 5 Обратная решётка для ГЦК — ОЦК

Первая зона Бриллюэна (рис. 6):

Рис. 6 Первая зона Бриллюэна

Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:

- центр верхнего квадрата, по направлению [001]

- центр шестиугольника, по направлению [111]

- середина грани соединяющей два шестиугольника, по направлению [101]

1.2) Полупроводник - антимонид индия (InSb)

Рис. 7 Антимонид индия

Структура: Гранецентрированная кубическая решётка

Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC

Класс симметрии: m3m

Изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего — см. рис. 1-3.

Базисные вектора:

, , , считая, что постоянная решётки = 1

Для параметра решётки

, ,

Кристаллическая решётка по заданным векторам изображена на рис. 4.

Объём элементарной ячейки аналогично предыдущему пункту:

Базисные вектора в обратном пространстве:

;

, ,

2) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов.

Связь радиуса Ферми с концентрацией электронов можно выяснить из следующего выражения: . С другой стороны введено условие касания сферы Ферми с границей зоны Бриллюэна. Из п. 1 известно, что наименьшие размеры она имеет по направлению , следовательно радиус Ферми для вписанной сферы

Тогда концентрация электронов:

Концентрацию свободных электронов в металле также можно определить пользуясь приближением слабой связи для:

, где Z — его валентность, N — количество атомов в его элементарной ячейке, а V — её объём.

Для золота:

В элементарной ГЦК решётке N = 4 атома (см. рис. 8)

Рис. 8 Атомы элементарной ячейки ГЦК решётки

При Z = 1

При Z = 2

При Z = 3 - наиболее частая

Вывод: Как видно, для любой возможной валентности, следовательно, теория свободных электронов не применима. Тогда эффективную массу электрона примем равной массе свободного электрона кг. В сравнении со стандартным металлом Пиппарда, у которого плотность электронов , а радиус Ферми , у золота они получаются большими , .

3) Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1 - 10) Т_D. Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления.

3.1) Исследование температурной зависимости длины свободного пробега

Длина свободного пробега электронов в зависимости от температуры (если она много больше температуры Дебая, то происходит упругое рассеяние, иначе - неупругое) приблизительно рассчитывается согласно следующему выражению:

Где , — параметр решётки, — температура плавления — температура Дебая.

, ,

Рис. 9 График зависимости длин свободного пробега от температуры

*Вывод:* с ростом температуры длина свободного пробега действительно уменьшается.

3.2) Исследование влияния дефектов на время релаксации

Время релаксации для рассеивания на дефектах:

Время релаксации для электрон-фононного рассеивания в зависимости от температуры: , где — скорость электронов на поверхности Ферми. В последней формуле — постоянная Планка, — концентрация носителей заряда, — эффективная масса электрона.

Тогда, согласно правилу Маттиссена суммарное время релаксации получается следующим: .

Оно справедливо если один из механизмов рассеяния преобладает над другим при T = 273 К.

; ;

Воспользуемся формулой для электропроводности: , где — заряд электрона, — удельное сопротивление золота при Н.У. .

Подставив эти значения в правило Маттиссена, получим .

Вывод: преобладает механизм рассеивания на дефектах, так как его время релаксации меньше. В сравнении со стандартным металлом Пиппарда, у которого скорость электронов на поверхности Ферми , у золота она выше: .

Построим график зависимости времени релаксации от температуры для обоих механизмов рассеивания и суммарный, считая что на дефектах оно будет постоянным.

Рис. 10 График зависимости времени релаксации от температуры

Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим общее время релаксации по правилу Маттиссена:

Таблица 4. Суммарное время релаксации

\T		T_D	T_пл
10^-12	10^-12
10^-13	10^-13
10^-14	10^-14

Вывод: С ростом температуры суммарное время релаксации уменьшается.

3.3) Исследование температурной зависимости электропроводности и теплопроводности металлов

Теплопроводность металла можно определить исходя из закона Видемана-Франца: , где — число Лоренца, в чьей формуле присутствует — постоянная Больцмана, а — электропроводность, выраженная через время релаксации из предыдущего подпункта.

Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим электропроводность и теплопроводность:

Таблица 5. Значения электропроводности

\T	T_D	T_пл
10^-12
10^-13
10^-14

Таблица 6. Значения иеплопроводности

\T		T_D	T_пл
10^-12
10^-13	805
10^-14	80.5	675

Изобразим их на графиках:

Рис. 11 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при

Рис. 12 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при

Рис. 13 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при

Рис. 14 Графики электропроводностей и теплопроводностей при различных

Вывод: С ростом концентрации дефектов ( ) температурные зависимости электропроводности и теплопроводности «выпрямляются», вместе с чем также уменьшается их значение в каждой точке. При этом, с ростом температуры электропроводность убывает, а теплопроводность возрастает.

3.4) Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления

Как было вычислено в подпункте 3.2, время релаксации для рассеивания на дефектах . Тогда количество дефектов в металле .

Вывод: В сравнении с концентрацией носителей заряда , количество дефектов меньше на 10 порядков, что можно назвать приемлемым значением.

4) Рассчитать и построить зависимость электропроводности от толщины металлической пленки при заданной температуре. Определить минимально возможную толщину металлизации.

Графики зависимости электропроводности плёнки от толщины будут построены для двух значений параметра зеркальности p₁ = 0 и p₂ = 0.5 в диапазоне температур .

В предыдущем пункте при T = T_пл — температуре плавления была рассчитана длина свободного пробега . Удельное сопротивление объёмного образца .

Для «толстой плёнки» при параметре зеркальности p < 1 справедлива следующая формула: . Аналогично, для «тонкой плёнки» : , где

Рис. 15 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре зеркальности 0

Рис. 16 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре зеркальности 0.5

При p = 1 (весь импульс электрона по направлению тока сохраняется), размерный эффект отсутствует

Минимальную возможную толщину металлизации можно определить из вышеприведённых графиков, выбрав такую , что при заданном масштабе практически сольётся с . Для данного металла это будет . Тогда толщина

Вывод: тонкие плёнки обладают низкой электропроводностью, однако, уже начиная с толщины плёнка из золота должна демонстрировать металлические свойства. При этом, при большем коэффициенте зеркальности поверхности, действительно, удельное сопротивление по мере уменьшения толщины плёнки возрастает в меньшей степени.

5) Определить эффективную массу носителей заряда, их концентрацию и степень вырождения электронно-дырочного газа в заданном собственном полупроводнике в данном диапазоне температур. Рассчитать и построить зависимости концентрации, подвижности и электропроводности от температуры для заданного примесного полупроводника.

5.1) Определить эффективную массу носителей заряда

Из табл. 2 известно, что для полупроводника InSb эффективные массы электронов и «дырок» соответственно:

и .

5.2) Оценка степени вырождения электронного газа

Зависимость энергии Ферми от температуры имеет следующий вид: , где — ширина запрещённой зоны. (отсчёт идёт от потолка валентной зоны (E_C). Соответствующее выражение для тепловой энергии: . Их график представлен на рис. 17.

Рис. 17 График температурной зависимости энергии Ферми и тепловой энергии

Как видно из графика, критерий вырожденности выполняется для всех рассматриваемых температур, следовательно в этих условиях, электронный газ является вырожденным. Это значит, что он описывается распределением Ферми-Дирака: . Например, для , распределение показано на рис. 18.

Рис. 18 Распределение Ферми-Дирака носителей заряда по энергиям при

5.3) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для собственного полупроводника

Зависимости концентрации электронов и дырок от температуры имеют следующий вид:

Их график приведён на рис. 19.

Рис. 19 График зависимостей концентрации электронов и дырок от температуры

5.4) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для примесного полупроводника

В работе рассмотрена донорная примесь Te с энергией ионизации в кристаллической решётке антимонида индия E_g = E_d = 0.003 эВ. Её концентрация N_d = 10²² м^-3.

Тогда, концентрация электронов в ней равна

Кроме этого, справедливы аппроксимации:

Тогда полная концентрация электронов донорного полупроводника будет суммой концентраций собственного и полученных от донорной примеси.

Рис. 20 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике от обратной температуры

Рис. 21 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике от температуры

По графику определяются температуры перехода к собственной проводимости и истощения примесей: T_s = 148 К (точка пересечения n_d1(T) и n(T)) и T_i = 366 К (момент, когда n_d1(T) становится больше N_d). Таким образом, I — область примесной ионизации, II — область истощения, III — область собственной ионизации.

5.5) Исследование зависимости подвижности от температуры для примесного полупроводника

Аппроксимирующие выражения для электронной и дырочной проводимостей:

, , где и — подвижности при 300 К.

Их график приведён на рис. 22.

Рис. 22 График подвижностей электронов и дырок

5.6) Исследование зависимости электропроводности от температуры для примесного полупроводника

Электропроводность проводника выражается следующим образом:

, где p(T) — концентрация дырок из подпункта 5.3, а n(T) — суммарная концентрация электронов из 5.4. График приведён на рис. 23

Рис. 23 График электропроводности примесного полупроводника

Вывод: ввиду вырожденности, электронный газ описывается распределением Ферми-Дирака. В собственном полупроводнике количество электронов и дырок равно, поэтому зависимости концентраций совпадают. Добавление донорной примеси увеличивает концентрацию электронов, однако, с ростом температуры они истощаются и полупроводник переходит к собственной ионизации. С ростом температуры за счёт ионизации, а значит увеличения количества носителей заряда, в отличие от металла, проводимость полупроводника растёт.

6) Рассчитать зависимости энергии Ферми и термодинамической работы выхода для примесного полупроводника от температуры.

Термодинамическая работа выхода для собственного полупроводника определяется следующим выражением:

, где E_F(T) — энергия Ферми из п. 5.2, - энергия сродства

Тогда расчёты

;

Для примесного полупроводника, соответственно:

и ,

где E_c = E_G; E_d = E_g;

И расчёты:

;

Вывод: в примесном полупроводнике энергия Ферми и работа выхода меньше, чем в собственном, но в обоих случаях растут по мере возрастания температуры.

7) Построить энергетическую диаграмму заданной пары металл-полупроводник в выбранном масштабе для случаев: без смещения, при прямом и обратном смещениях. Рассчитать вольтамперную характеристику контакта в данном диапазоне температур.

7.1) Энергетическая диаграмма

Рис. 24 Энергетическая диаграмма металл-вакуум-полупроводник

Рис. 25 Энергетическая диаграмма металл-полупроводник

Вывод: Так как

, следовательно, наблюдается анти-барьер Шоттки, или омический контакт.

7.2) Вольт-амперная характеристика

В ходе построений было вычислено, что работа выхода из примесного полупроводника , энергия контактной разности потенциалов .

Тогда, согласно уравнению Ричардсона, плотность тока .

Где - плотность тока насыщения.

Для трёх температур на рис. 28-30 приведены графики ВАХ.

Рис. 28 ВАХ контакта при T = 300 К

Рис. 29 ВАХ контакта при T = 250 К

Рис. 30 ВАХ контакта при T = 50 К

Вывод: анти-барьер Шоттки виден и на ВАХ, где в области небольших напряжений выполняется закон Ома. Сопротивление в ней определяется только сопротивлением приконтактной области полупроводника.

8) Рассчитать концентрацию носителей заряда в заданном полупроводнике для создания омического контакта к металлу.

Как видно из п. 7, контакт Au-InSb образует анти-барьер Шоттки, поэтому дополнительно легированный буферный слой не требуется.

9) Сделать выводы и дать рекомендации по применению исследуемого контакта металл-полупроводник

В работе были исследованы металл золото (Au) и полупроводник антимонид индия (InSb). Оба материала имеют гранецентрированную кристаллическую решётку, характеристики каждой были исследованы в п. 1.

В п. 2 на основании вычисления концентрации свободных электронов было выяснено, что к металлу неприменима теория свободных электронов.

Золото является хорошим проводником, что было подтверждено в п. 3, где была исследована температурная зависимость проводимости и связанные с ней характеристики и влияние на неё дефектов кристаллической решётки.

При этом, как показано в п. 4, при толщине менее 60 нм начинает сказываться размерный эффект — при отражении на неровностях теряется импульс по направлению движения электронов, из-за чего сильно возрастает сопротивление.

В п. 5 на основании заданных эффективных масс электронов и «дырок» было выяснено, что антимонид индия является вырожденным, а значит, должно использоваться распределение Ферми-Дирака. Однако, далее в расчётах использовались формулы для невырожденного случая. В собственном полупроводнике, действительно, концентрации электронов и «дырок» совпали.

С добавлением донорной примеси теллура (Te) при низких температурах концентрация электронов возрастает за счёт ионизации примесей, однако, по мере роста температуры они истощаются и уже при 366 К их вклад становится пренебрежимо мал. Проводимость полупроводника на несколько порядков меньше, чем у металла и возрастает по мере роста температуры.

В п. 6 было показано, что добавление примеси в полупроводник уменьшает работу выхода.

На основании энергетических диаграмм, построенных в п. 7 было выяснено, что золото и антимонид индия, легированных теллуром образуют омический контакт с высотой барьера и энергией сродства полупроводника . Поэтому на вольт-амперной характеристике при небольших напряжениях наблюдается прямой участок, подчиняющийся закону Ома. При этом, так как с ростом напряжении при прямом включении наблюдается значительный рост тока, а при обратном «запирание» диода.

Таким образом, полученный контакт можно использовать для соединения полупроводниковых приборов с металлическими выводами. Его удельное сопротивление получается порядка 10^-14 Ом. Однако, уже при напряжениях порядка сотых долей вольта контакт становится выпрямляющим.

Список литературы

Ситникова М.В. Методические указания к решению задач на практических занятиях по дисциплине «Основы электроники и радиоматериалы», СпбГЭТУ «ЛЭТИ», 2021
Астанин В.В. Электронное строение и кристаллическая структура твердых тел. Учебное пособие. / Уфа: УГАТУ, 2007,- 132с.
Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т.1. М.: Мир, 1979
Гольдберг Ю.А. Омический контакт металл--полупроводник AIIIBV: методы создания и свойства // Физика и техника полупроводников. 1994, вып (№) 10. С. 1681-1689

README.md Unescape Escape

Содержание

Задание