МИНОБРНАУКИ РОССИИ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры (МИТ) ОТЧЕТ **по ИДЗ** **по дисциплине «ОЭиР»** ****Тема: Исследование контактных явлений в структуре металл-полупроводник**** ****Вариант 14,6,3**** https://www.meme-arsenal.com/memes/4598e00877a721c55a46dc4aafb78719.jpg ------------------ -- ------------- Студент гр. 1181 Шишков Д.А. Преподаватель Филипюк И.А ------------------ -- ------------- Санкт-Петербург 2023 Задание: Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур, дать рекомендации по применению исследуемого контакта. Таблица 1. Некоторые свойства металлов

No

ВАР.

 Элемент Структура Атомная масса Параметр решетки, Å Плотность, г/см3 Удельное сопротивление, мкОм·см Температура, К Работа выхода φ, эВ
Дебая (TD) Ферми (TF·10-4) плавления (Tпл)
14 Au ГЦК 196.9 4.08 19.28 2.2 165 6.39 1337 4.58
1\) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К. Гранецентрированная Кубическая решётка Формула симметрии: 3L~4~4L~3~6L~2~9PC Класс симметрии: m3m Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают, приведём на рис. 1-3 изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего ![](pictures/Pictures/100000010000015E00000147D7C1BAAC07F91159.png){width="3.4504in" height="2.9512in"} Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки ![](pictures/Pictures/10000001000001CC00000131EEA170A8799B8110.png){width="4.5437in" height="3.0126in"} Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба ![](pictures/Pictures/10000001000000DC00000100F9B19430CB57B85C.png){width="2.0882in" height="2.4307in"} Рис. 3 Изображение центра симметрии куба Базисные вектора: $$a_{1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$, $$a_{2} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix}$$, $$a_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix}$$, считая, что постоянная решётки = 1 Построим кристаллическую решётку по заданным векторам (рис. 4) ![](pictures/Pictures/1000000100000102000000EC388FD10724EFA862.png){width="2.6874in" height="2.4583in"} Рис. 4 ГЦК Объём элементарной ячейки: $$V = {|{\overrightarrow{a_{1}} \cdot \left\lbrack {\overrightarrow{a_{2}} \times a_{3}} \right\rbrack}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Базисные вектора обратной решётки: $${a_{i}^{\ast} = \frac{2\pi}{V}}\left\lbrack {a_{j} \times a_{k}} \right\rbrack,{i \neq j \neq k}$$ $$a_{1}^{\ast} = \begin{bmatrix} {\sqrt{2}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \\ \end{bmatrix}$$, $$a_{2}^{\ast} = \begin{bmatrix} {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {\sqrt{2}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \\ \end{bmatrix}$$, $$a_{3}^{\ast} = \begin{bmatrix} {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {\sqrt{2}\pi} \\ \end{bmatrix}$$ Изобразим её на рис. 5 ![](pictures/Pictures/10000001000002D0000003619A2670E62D0CE93C.png){width="4.128in" height="3.6374in"} Рис. 5 Обратная решётка ГЦК Первая зона Бриллюэна (рис. 6): ![](pictures/Pictures/10000001000001C20000011D0C7FC81F7FC396D5.png){width="4.6874in" height="2.9689in"} Рис. 6 Первая зона Бриллюэна Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K: $$X = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$ - центр верхнего квадрата $$L = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0.5 \\ \end{bmatrix}$$ - центр шестиугольника $$K = \begin{bmatrix} 0.75 \\ 0.75 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ - середина грани соединяющей два шестиугольника 2\) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов. В момент касания волновой вектор kф, соответствующий радиусу сферы Ферми, равен волновому вектору kз, при котором в направлении, перпендикулярном отражающим плоскостям, выполняется уравнение Вульфа-Брэггов. Условия касания для двумерной модели можно записать в виде $$k_{ф} = k_{з}$$ или, поскольку $${k = 2}\frac{\pi}{\lambda}$$, то $$\lambda_{ф} = \lambda_{з}$$. Объем сферы Ферми в пространстве импульсов равен $$\frac{4}{3}\pi p_{ф}^{3}$$ , где $$p_{ф}$$ -- импульс электронов на поверхности Ферми. С другой стороны, этот же объем равен $$\frac{N}{2}\frac{h^{3}}{V}$$, где N -- число электронов в объеме V. Таким образом: $$\frac{4}{3}\pi{p_{ф}^{3} = \frac{N}{2}}\frac{h^{3}}{V}$$ Откуда находим: $${p_{ф} = h}\left( \frac{3N}{8\pi V} \right)^{1/3}$$ Поскольку по соотношению де-Бройля $$\lambda = \frac{h}{p}$$, то $$\lambda_{ф} = \left( \frac{8\pi V}{3N} \right)^{1/3}$$ Найдем теперь λз. Из всех граней первой зоны Бриллюэна для гранецентрированной решетки ближе всего к началу координат находятся грани, обусловленные отражением электронов от плоскостей {111}. Поэтому сфера Ферми впервые коснется именно этих граней. Таким образом, для определения условий касания сферы с первой зоной Бриллюэна необходимо найти длину волны, при которой электроны взаимодействуют с плоскостями {111}. Из уравнения Вульфа -- Бреггов $${\mathit{n\lambda} = 2}d\mathit{sin\theta}$$ находим: 3 $${\lambda_{з} = 2}{d = 2}{\frac{a}{\sqrt{H^{2} + K^{2} + L^{2}}} = 2}\frac{a}{\sqrt{3}}$$ (здесь θ = 90°, так как в точке касания волновой вектор перпендикулярен к плоскостям {111}; п = 1, так как λ--наибольшее) Если в объеме V число атомов Na, то число элементарных ячеек будет $$\frac{N_{a}}{4}$$, так как на одну ячейку гранецентрированной решетки приходится четыре атома, тогда $${V = a^{3}}\frac{N_{a}}{4}$$ Откуда $$a = \left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$, следовательно $${\lambda_{з} = \frac{2}{\sqrt{3}}}\left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$ Возводя обе части этого тождества в куб и произведя необходимые сокращения, получаем: $$\frac{N}{N_{a}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = 1.36$$ Список литературы: Астанин В.В. Физика твёрдого тела