137 lines
4.8 KiB
Markdown
137 lines
4.8 KiB
Markdown
---
|
||
papersize: a4
|
||
fontsize: 14pt
|
||
geometry: margin=20mm
|
||
header-includes:
|
||
- \usepackage{fontspec}
|
||
- \usepackage{unicode-math}
|
||
- \setmainfont{DejaVu Serif}
|
||
---
|
||
|
||
# I. Построение алгоритма обнаружителя
|
||
|
||
$$
|
||
w(x_1, \dots, x_n | H_0) = \begin{cases}
|
||
\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}, & x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n} \\
|
||
0, & \exists i: x_i < 0
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
w(x_1, \dots, x_n | H_1) = \begin{cases}
|
||
\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i-u}{\mu}}, & x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} \\
|
||
0, & \exists i: x_i < u
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
L = \dfrac{w(x_1, \dots, x_n | H_1)}{w(x_1, \dots, x_n | H_0)} \gtrless^{H_1^*}_{H_0^*} L_{\text{пор}}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
L = \begin{cases}
|
||
\dfrac{0}{0}, & \exists i: x_i < 0 \\
|
||
\dfrac{0}{\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}}, & (x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) \\
|
||
\dfrac{\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i-u}{\mu})}}{\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}}, & x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n}
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\tag{1}
|
||
L = \begin{cases}
|
||
\textrm{undefined}, & \exists i: x_i < 0 \\
|
||
0, & (x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) \\
|
||
e^{n \frac{u}{\mu}}, & x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n}
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
# II. Нахождение теоретических кривых обнаружения
|
||
|
||
Вероятность ложной тревоги:
|
||
|
||
$$\alpha = P(H_1^* | H_0) = P(L > L_{\text{пор}} | H_0)$$
|
||
|
||
1. $L_{\text{пор}} \in [0, e^{n \frac{u}{\mu}})$
|
||
|
||
$$\alpha = P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_0) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_0)$$
|
||
|
||
$$P(x_i \ge u | H_0) = 1 - P(x_i < u | H_0) = 1 - F_{\exp}(u) = 1 - (1 - e^{-\frac{u}{\mu}}) = e^{- \frac{u}{\mu}}$$
|
||
|
||
$$
|
||
\tag{2}
|
||
\alpha = \prod_{i=1}^n e^{-\frac{u}{\mu}} = e^{-n \frac{u}{\mu}}
|
||
$$
|
||
|
||
2. $L_{\text{пор}} < 0$
|
||
|
||
$$\alpha = P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_0) + P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_0)$$
|
||
|
||
$$P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_0) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge 0 | H_0) \cdot \left[ 1 - \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_0) \right]$$
|
||
|
||
$$P(x_i \ge 0 | H_0) = 1 - F_{\exp}(0) = 1$$
|
||
|
||
$$\alpha = 1$$
|
||
|
||
<div style="page-break-after: always; visibility: hidden">
|
||
\pagebreak
|
||
</div>
|
||
|
||
3. $L_{\text{пор}} \ge e^{n \frac{u}{\mu}}$
|
||
|
||
$$\alpha = 0$$
|
||
|
||
Вероятность правильного обнаружения
|
||
|
||
$$D = P(H_1^* | H_1) = P(L > L_{\text{пор}} | H_1)$$
|
||
|
||
1. $L_{\text{пор}} \in [0, e^{n \frac{u}{\mu}})$
|
||
|
||
$$D = P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_1) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_1)$$
|
||
|
||
$$P(x_i \ge u|H_1) = 1 - P(x_i < u | H_1) = 1 - F_{\exp}(0) = 1$$
|
||
|
||
$$D = 1$$
|
||
|
||
2. $L_{\text{пор}} < 0$
|
||
|
||
$$D = P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_1) + P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_1)$$
|
||
|
||
$$P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_1) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge 0 | H_1) \cdot \left[ 1 - \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_1) \right]$$
|
||
|
||
$$P(x_i \ge 0 | H_1) = 1$$
|
||
|
||
$$D = 1 \cdot (1 - 1) + 1 = 1$$
|
||
|
||
3. $L_{\text{пор}} \ge e^{n \frac{u}{\mu}}$
|
||
|
||
$$D = 0$$
|
||
|
||
Зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги:
|
||
|
||
$$
|
||
\tag{3}
|
||
D = \begin{cases}
|
||
1, & \alpha > 0 \\
|
||
0, & \alpha = 0
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
# III. Экспериментальные кривые обнаружения
|
||
|
||
В нотбуке `1.ipynb` выполняется моделирование полученного алгоритма обнаружения. Результаты также приводятся ниже:
|
||
|
||
Кривые обнаружения соответствуют теории (3). Распределение экспериментальных значений вероятности ложной тревоги при линейном изменении отношения $\frac{u}{\mu}$ соответствует закону их взаимозависимости (2).
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения уровня сигнала к масштабному коэффициенту распределения шума равна 1 всюду кромее "отсечки" в 0 при низких соотношениях сигнал/шум, когда $L_{\text{пор}}$ оказывается выше $e^{n \frac{u}{\mu}}$
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
Вероятность ложной тревоги также отсекается в 0 при больших $L_{\text{пор}}$.
|
||
|
||
|
||
|