---
papersize: a4
fontsize: 14pt
geometry: margin=20mm
header-includes:
  - \usepackage{fontspec}
  - \usepackage{unicode-math}
  - \setmainfont{DejaVu Serif}
---

# I. Построение алгоритма обнаружителя

$$
w(x_1, \dots, x_n | H_0) = \begin{cases}
    \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}, & x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n} \\
    0, & \exists i: x_i < 0
\end{cases}
$$

$$
w(x_1, \dots, x_n | H_1) = \begin{cases}
    \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i-u}{\mu}}, & x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} \\
    0, & \exists i: x_i < u
\end{cases}
$$

$$
L = \dfrac{w(x_1, \dots, x_n | H_1)}{w(x_1, \dots, x_n | H_0)} \gtrless^{H_1^*}_{H_0^*} L_{\text{пор}}
$$

$$
L = \begin{cases}
    \dfrac{0}{0}, & \exists i: x_i < 0 \\
    \dfrac{0}{\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}}, & (x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) \\
    \dfrac{\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i-u}{\mu})}}{\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}}, & x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n}
\end{cases}
$$

$$
\tag{1}
L = \begin{cases}
    \textrm{undefined}, & \exists i: x_i < 0 \\
    0, & (x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) \\
    e^{n \frac{u}{\mu}}, & x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n}
\end{cases}
$$

# II. Нахождение теоретических кривых обнаружения

Вероятность ложной тревоги:

$$\alpha = P(H_1^* | H_0) = P(L > L_{\text{пор}} | H_0)$$

1. $L_{\text{пор}} \in [0, e^{n \frac{u}{\mu}})$

$$\alpha = P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_0) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_0)$$

$$P(x_i \ge u | H_0) = 1 - P(x_i < u | H_0) = 1 - F_{\exp}(u) = 1 - (1 - e^{-\frac{u}{\mu}}) = e^{- \frac{u}{\mu}}$$

$$
\tag{2}
\alpha = \prod_{i=1}^n e^{-\frac{u}{\mu}} = e^{-n \frac{u}{\mu}}
$$

2. $L_{\text{пор}} < 0$

$$\alpha = P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_0) + P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_0)$$

$$P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_0) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge 0 | H_0) \cdot \left[ 1 - \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_0) \right]$$

$$P(x_i \ge 0 | H_0) = 1 - F_{\exp}(0) = 1$$

$$\alpha = 1$$

<div style="page-break-after: always; visibility: hidden"> 
\pagebreak 
</div>

3. $L_{\text{пор}} \ge e^{n \frac{u}{\mu}}$

$$\alpha = 0$$

Вероятность правильного обнаружения

$$D = P(H_1^* | H_1) = P(L > L_{\text{пор}} | H_1)$$

1. $L_{\text{пор}} \in [0, e^{n \frac{u}{\mu}})$

$$D = P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_1) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_1)$$

$$P(x_i \ge u|H_1) = 1 - P(x_i < u | H_1) = 1 - F_{\exp}(0) = 1$$

$$D = 1$$

2. $L_{\text{пор}} < 0$

$$D = P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_1) + P(x_i \ge u, \quad i = \overline{1 \dots n} | H_1)$$

$$P((x_i \ge 0, \quad i = \overline{1 \dots n}) \cap (\exists i: x_i < u) | H_1) = \prod_{i=1}^n P(x_i \ge 0 | H_1) \cdot \left[ 1 - \prod_{i=1}^n P(x_i \ge u | H_1) \right]$$

$$P(x_i \ge 0 | H_1) = 1$$

$$D = 1 \cdot (1 - 1) + 1 = 1$$

3. $L_{\text{пор}} \ge e^{n \frac{u}{\mu}}$

$$D = 0$$

Зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги:

$$
\tag{3}
D = \begin{cases}
    1, & \alpha > 0 \\
    0, & \alpha = 0
\end{cases}
$$

# III. Экспериментальные кривые обнаружения

В нотбуке `1.ipynb` выполняется моделирование полученного алгоритма обнаружения. Результаты также приводятся ниже:

Кривые обнаружения соответствуют теории (3). Распределение экспериментальных значений вероятности ложной тревоги при линейном изменении отношения $\frac{u}{\mu}$ соответствует закону их взаимозависимости (2).

![](./pics/aD_5.png)
![](./pics/aD_15.png)

Зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения уровня сигнала к масштабному коэффициенту распределения шума равна 1 всюду кромее "отсечки" в 0 при низких соотношениях сигнал/шум, когда $L_{\text{пор}}$ оказывается выше $e^{n \frac{u}{\mu}}$

![](./pics/umu_D_5.png)
![](./pics/umu_D_15.png)

Вероятность ложной тревоги также отсекается в 0 при больших $L_{\text{пор}}$. 

![](./pics/umu_alpha_5.png)
![](./pics/umu_alpha_15.png)