radiomaterials_ihw/ИДЗ ОЭиР.odt

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры

(МИТ)

ОТЧЕТ

по ИДЗ

по дисциплине «ОЭиР»

Тема: Исследование контактных явлений в структуре металл-полупроводник

Вариант 14,6,3

https://www.meme-arsenal.com/memes/4598e00877a721c55a46dc4aafb78719.jpg

Студент гр. 1181		Шишков Д.А.
Преподаватель		Филипюк И.А

Санкт-Петербург

2023

Задание:

Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур, дать рекомендации по применению исследуемого контакта.

Таблица 1. Некоторые свойства металлов

No ВАР.	Элемент	Структура	Атомная масса	Параметр решетки, Å	Плотность, г/см3	Удельное сопротивление, мкОм·см	Температура, К	Работа выхода φ, эВ
Дебая (TD)	Ферми (TF·10-4)	плавления (Tпл)
14	Au	ГЦК	196.9	4.08	19.28	2.2	165	6.39	1337	4.58

1) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К.

Гранецентрированная Кубическая решётка

Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC

Класс симметрии: m3m

Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают, приведём на рис. 1-3 изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего

Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки

Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба

Рис. 3 Изображение центра симметрии куба

Базисные вектора:

$$a_{1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}$$, $$a_{2} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$, $$a_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$, считая, что постоянная решётки = 1

Построим кристаллическую решётку по заданным векторам (рис. 4)

Рис. 4 ГЦК

Объём элементарной ячейки:

$$V = {|{\overrightarrow{a_{1}} \cdot \left\lbrack {\overrightarrow{a_{2}} \times a_{3}} \right\rbrack}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Базисные вектора обратной решётки:

$${a_{i}^{\ast} = \frac{2\pi}{V}}\left\lbrack {a_{j} \times a_{k}} \right\rbrack,{i \neq j \neq k}$$

$$a_{1}^{\ast} = \begin{bmatrix} {\sqrt{2}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \end{bmatrix}$$, $$a_{2}^{\ast} = \begin{bmatrix} {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {\sqrt{2}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \end{bmatrix}$$, $$a_{3}^{\ast} = \begin{bmatrix} {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {{- \sqrt{2}}\pi} \\ {\sqrt{2}\pi} \end{bmatrix}$$

Изобразим её на рис. 5

Рис. 5 Обратная решётка ГЦК

Первая зона Бриллюэна (рис. 6):

Рис. 6 Первая зона Бриллюэна

Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:

$$X = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ - центр верхнего квадрата

$$L = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix}$$ - центр шестиугольника

$$K = \begin{bmatrix} 0.75 \\ 0.75 \\ 0 \end{bmatrix}$$ - середина грани соединяющей два шестиугольника

2) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов.

В момент касания волновой вектор kф, соответствующий радиусу сферы Ферми, равен волновому вектору kз, при котором в направлении, перпендикулярном отражающим плоскостям, выполняется уравнение Вульфа-Брэггов. Условия касания для двумерной модели можно записать в виде $$k_{ф} = k_{з}$$ или, поскольку $${k = 2}\frac{\pi}{\lambda}$$, то $$\lambda_{ф} = \lambda_{з}$$.

Объем сферы Ферми в пространстве импульсов равен $$\frac{4}{3}\pi p_{ф}^{3}$$ , где $$p_{ф}$$ – импульс электронов на поверхности Ферми. С другой стороны, этот же объем равен $$\frac{N}{2}\frac{h^{3}}{V}$$, где N – число электронов в объеме V. Таким образом:

$$\frac{4}{3}\pi{p_{ф}^{3} = \frac{N}{2}}\frac{h^{3}}{V}$$

Откуда находим:

$${p_{ф} = h}\left( \frac{3N}{8\pi V} \right)^{1/3}$$

Поскольку по соотношению де-Бройля $$\lambda = \frac{h}{p}$$, то $$\lambda_{ф} = \left( \frac{8\pi V}{3N} \right)^{1/3}$$

Найдем теперь λз. Из всех граней первой зоны Бриллюэна для гранецентрированной решетки ближе всего к началу координат находятся грани, обусловленные отражением электронов от плоскостей {111}. Поэтому сфера Ферми впервые коснется именно этих граней. Таким образом, для определения условий касания сферы с первой зоной Бриллюэна необходимо найти длину волны, при которой электроны взаимодействуют с плоскостями {111}. Из уравнения Вульфа – Бреггов $${\mathit{n\lambda} = 2}d\mathit{sin\theta}$$ находим:

3

$${\lambda_{з} = 2}{d = 2}{\frac{a}{\sqrt{H^{2} + K^{2} + L^{2}}} = 2}\frac{a}{\sqrt{3}}$$

(здесь θ = 90°, так как в точке касания волновой вектор перпендикулярен к плоскостям {111}; п = 1, так как λ–наибольшее)

Если в объеме V число атомов Na, то число элементарных ячеек будет $$\frac{N_{a}}{4}$$, так как на одну ячейку гранецентрированной решетки приходится четыре атома, тогда $${V = a^{3}}\frac{N_{a}}{4}$$

Откуда $$a = \left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$, следовательно $${\lambda_{з} = \frac{2}{\sqrt{3}}}\left( \frac{4V}{N_{a}} \right)^{1/3}$$

Возводя обе части этого тождества в куб и произведя необходимые сокращения, получаем:

$$\frac{N}{N_{a}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = 1.36$$

Список литературы:

Астанин В.В. Физика твёрдого тела