radiomaterials_ihw/ИДЗ ОЭиР.odt

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры

(МИТ)

ОТЧЕТ

по ИДЗ

по дисциплине «ОЭиР»

Тема: Исследование контактных явлений в структуре металл-полупроводник

Вариант 25 14,6,3

https://www.meme-arsenal.com/memes/4598e00877a721c55a46dc4aafb78719.jpg

Студент гр. 1181		Шишков Д.А.
Преподаватель		Ситникова М.Ф.

Санкт-Петербург

2023

Задание

Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур, дать рекомендации по применению исследуемого контакта.

Таблица 1. Некоторые свойства металлов

No ВАР.	Элемент	Структура	Атомная масса	Параметр решетки, Å	Плотность, г/см3	Удельное сопротивление, мкОм·см	Температура, К	Работа выхода φ, эВ
Дебая (TD)	Ферми (TF·10-4)	плавления (Tпл)
14	Au	ГЦК	196.9	4.08	19.28	2.2	165	6.39	1337	4.58

Таблица 2. Свойства cобственных полупроводников

№ ВАР.	Тип примеси	Полупроводник	Ширина запрещённой области	Эффективная масса	Подвижность при 300К	Работа выхода, Эв
EG (300 К), Эв	m"n/me	m’’p/me	μn, см2·В1·с1	μp, см2·В1·с1
6	n	InSb	0.17	0.0133	0.6	76000	5000	4.75

Таблица 3. Концентрация n- и p- примесей в полупроводниках

№ вар.	3
концентрация примесей, м-3	1022

1) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К.

1.1) Металл — золото (Au):

Структура: Гранецентрированная кубическая решётка

Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC

Класс симметрии: m3m

Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают, на рис. 1-3 приведены изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего

Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки

Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба

Рис. 3 Изображение центра симметрии куба

Базисные вектора:

$${\overrightarrow{a_{1}} = \frac{a}{2}}\left\lbrack {011} \right\rbrack^{T}$$, $${\overrightarrow{a_{2}} = \frac{a}{2}}\left\lbrack {101} \right\rbrack^{T}$$, $${\overrightarrow{a_{2}} = \frac{a}{2}}\left\lbrack {110} \right\rbrack^{T}$$

Подставляя параметр решётки $${a = 4.08}\mathring{\mathrm{A}}$$

$${\overrightarrow{a_{1}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2.04 \\ 2.04 \end{bmatrix}}\mathring{\mathrm{A}}$$, $${\overrightarrow{a_{2}} = \begin{bmatrix} 2.04 \\ 0 \\ 2.04 \end{bmatrix}}\mathring{\mathrm{A}}$$, $${\overrightarrow{a_{3}} = \begin{bmatrix} 2.04 \\ 2.04 \\ 0 \end{bmatrix}}\mathring{\mathrm{A}}$$

Кристаллическая решётка по заданным векторам построена на рис. 4

Рис. 4 Тройка основных векторов для ГЦК решётки

Объём элементарной ячейки:

$${V = {|{\overrightarrow{a_{1}} \cdot \left\lbrack {\overrightarrow{a_{2}} \times \overrightarrow{a_{3}}} \right\rbrack}|} = \left| {0{\left( {0^{2} - \frac{a^{2}}{4}} \right) - \frac{a}{2}}{\left( {{\frac{a}{2} \cdot 0} - \frac{a^{2}}{4}} \right) + \frac{a}{2}}\left( {\frac{a^{2}}{4} - {\frac{a}{2} \cdot 0}} \right)} \right| = \frac{a^{3}}{4} = 16.98}\mathring{\mathrm{A}}^{3}$$

Базисные вектора обратной решётки:

$${\overrightarrow{a_{i}^{\ast}} = \frac{2\pi}{V}}\left\lbrack {\overrightarrow{a_{j}} \times \overrightarrow{a_{k}}} \right\rbrack,{i \neq j \neq k}$$; $$a^{\ast} = \frac{2\pi}{a} = \frac{2\pi}{4.08} = {1.54 \cdot 10^{10}}$$

$${\overrightarrow{a_{1}^{\ast}} = \frac{2\pi}{V}}\frac{a^{2}}{4}{\begin{bmatrix} {- 1} \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} {- 1.54} \\ 1.54 \\ 1.54 \end{bmatrix} \cdot 10^{10}}}$$, $$\overrightarrow{a_{2}^{\ast}} = {\begin{bmatrix} {- 1.54} \\ 1.54 \\ {- 1.54} \end{bmatrix} \cdot 10^{10}}$$, $$\overrightarrow{a_{3}^{\ast}} = {\begin{bmatrix} 1.54 \\ {- 1.54} \\ {- 1.54} \end{bmatrix} \cdot 10^{10}}$$

Что соответствует ОЦК. Её изображение на рис. 5.

Рис. 5 Обратная решётка для ГЦК — ОЦК

Первая зона Бриллюэна (рис. 6):

Рис. 6 Первая зона Бриллюэна

Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:

$$\mathit{ГX} = \frac{a^{\ast}}{2} = {0.77 \cdot 10^{10}}$$ - центр верхнего квадрата, по направлению [001]

$$\mathit{ГL} = \frac{a^{\ast}\sqrt{2}}{4} = {0.54 \cdot 10^{10}}$$ - центр шестиугольника, по направлению [111]

$$\mathit{ГK} = \frac{a^{\ast} \cdot \sqrt{3}}{4} = {0.67 \cdot 10^{10}}$$ - середина грани соединяющей два шестиугольника, по направлению [101]

1.2) Полупроводник - антимонид индия (InSb)

Рис. 7 Антимонид индия

Структура: Гранецентрированная кубическая решётка

Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC

Класс симметрии: m3m

Изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего — см. рис. 1-3.

Базисные вектора:

$${\overrightarrow{a_{1}} = \frac{a}{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$, $${\overrightarrow{a_{2}} = \frac{a}{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$, $${\overrightarrow{a_{3}} = \frac{a}{2}}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$, считая, что постоянная решётки = 1

Для параметра решётки $${a = 6.48}\mathring{\mathrm{A}}$$

$${\overrightarrow{a_{1}} = \begin{bmatrix} 3.24 \\ 3.24 \\ 0 \end{bmatrix}}\mathring{\mathrm{A}}$$, $${\overrightarrow{a_{2}} = \begin{bmatrix} 3.24 \\ 0 \\ 3.24 \end{bmatrix}}\mathring{\mathrm{A}}$$, $${\overrightarrow{a_{3}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3.24 \\ 3.24 \end{bmatrix}}\mathring{\mathrm{A}}$$

Кристаллическая решётка по заданным векторам изображена на рис. 4.

Объём элементарной ячейки аналогично предыдущему пункту:

$${V = {|{\overrightarrow{a_{1}} \cdot \left\lbrack {\overrightarrow{a_{2}} \times \overrightarrow{a_{3}}} \right\rbrack}|} = \frac{a^{3}}{4} = 68.02}\mathring{\mathrm{A}}^{3}$$

Базисные вектора в обратном пространстве:

$${\overrightarrow{a_{i}^{\ast}} = \frac{2\pi}{V}}\left\lbrack {a_{j} \times a_{k}} \right\rbrack,{i \neq j \neq k}$$; $$a^{\ast} = \frac{2\pi}{a} = \frac{2\pi}{6.48\mathring{\mathrm{A}}} = {0.97 \cdot 10^{10}}$$

$$a_{1}^{\ast} = {\begin{bmatrix} {- 0.97} \\ 0.97 \\ 0.97 \end{bmatrix} \cdot 10^{10}}$$, $$a_{2}^{\ast} = {\begin{bmatrix} {- 0.97} \\ 0.97 \\ {- 0.97} \end{bmatrix} \cdot 10^{10}}$$, $$a_{3}^{\ast} = {\begin{bmatrix} 0.97 \\ {- 0.97} \\ {- 0.97} \end{bmatrix} \cdot 10^{10}}$$

2) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов.

Связь радиуса Ферми с концентрацией электронов можно выяснить из следующего выражения: $$k_{f} = \sqrt[3]{3\pi^{2}n}$$. С другой стороны введено условие касания сферы Ферми с границей зоны Бриллюэна. Из п. 1 известно, что наименьшие размеры она имеет по направлению $$\mathit{ГL}$$, следовательно радиус Ферми для вписанной сферы $$k_{f} = \mathit{ГL} = {0.54 \cdot 10^{10}}$$

Тогда концентрация электронов: $$n = \frac{k_{f}^{3}}{3\pi^{2}} = {5.32 \cdot 10^{27}}$$

Концентрацию свободных электронов в металле также можно определить пользуясь приближением слабой связи для:

$$n_{0} = \frac{N \cdot Z}{V}$$, где Z — его валентность, N — количество атомов в его элементарной ячейке, а V — её объём.

Для золота:

В элементарной ГЦК решётке N = 4 атома (см. рис. 8)

Рис. 8 Атомы элементарной ячейки ГЦК решётки

При Z = 1 $${n_{0} = \frac{4 \cdot 1}{16.98 \cdot 10^{- 30}} = {2.36 \cdot 10^{29}}}м^{- 3}$$

При Z = 2 $${n_{0} = {4.72 \cdot 10^{29}}}м^{- 3}$$

При Z = 3 $${n_{0} = {7.08 \cdot 10^{29}}}м^{- 3}$$ - наиболее частая

Вывод: Как видно, $$n_{0} > n$$ для любой возможной валентности, следовательно, теория свободных электронов не применима. Тогда эффективную массу электрона примем равной массе свободного электрона $$m{' = m_{e} = {9.1 \cdot 10^{- 31}}}$$ кг. В сравнении со стандартным металлом Пиппарда, у которого плотность электронов $$n_{0} = {6 \cdot 10^{28}}$$, а радиус Ферми $$k_{f} = {1.21 \cdot 10^{6}}$$, у золота они получаются большими $${n_{0} = {7.08 \cdot 10^{29}}}м^{- 3}$$, $$k_{f} = {5.4 \cdot 10^{9}}$$.

3) Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1 - 10) Т_D. Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления.

3.1) Исследование температурной зависимости длины свободного пробега

Длина свободного пробега электронов в зависимости от температуры (если она много больше температуры Дебая, то происходит упругое рассеяние, иначе - неупругое) приблизительно рассчитывается согласно следующему выражению:

$$\lambda{{(T)} = \left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{(T)},{T \gg T_{D}}} \\ {\lambda_{1}{{(T_{D})} \cdot \left( \frac{T_{D}}{T} \right)^{5}},{T \ll T_{D}}} \end{matrix} \right.}$$.

Где $$\lambda_{1}{{(T)} = 50}a\frac{T_{\mathit{пл}}}{T}$$, $$a = {4.08 \cdot 10^{- 10}}$$ — параметр решётки, $$T_{\mathit{пл}} = 1337$$ — температура плавления $$T_{D} = 165$$ — температура Дебая.

$$\lambda{{({0.1T_{D}})} = 0.16}м$$, $$\lambda{{(T_{D})} = 0.17}\mathit{мкм}$$, $$\lambda{{(T_{\mathit{пл}})} = 0.02}\mathit{мкм}$$

Рис. 9 График зависимости длин свободного пробега от температуры

Вывод: с ростом температуры длина свободного пробега действительно уменьшается.

3.2) Исследование влияния дефектов на время релаксации

Время релаксации для рассеивания на дефектах: $$\tau_{d}{(T)}$$

Время релаксации для электрон-фононного рассеивания в зависимости от температуры: $$\tau_{f}{{(T)} = \frac{\lambda{(T)}}{v_{F}}}$$, где $$v_{F} = \frac{h \cdot \sqrt[3]{3\pi^{2}n_{0}}}{2\pi m'}$$ — скорость электронов на поверхности Ферми. В последней формуле $$h = {6.6237 \cdot 10^{- 34}}$$ — постоянная Планка, $$n_{0} = {7.08 \cdot 10^{29}}$$ — концентрация носителей заряда, $$m{' = m_{e} = {9.1 \cdot 10^{- 31}}}$$ — эффективная масса электрона.

Тогда, согласно правилу Маттиссена суммарное время релаксации получается следующим: $$\tau_{\Sigma}{{(T)} = \frac{1}{\frac{1}{\tau_{d}{(T)}} + \frac{1}{\tau_{f}{(T)}}}}$$.

Оно справедливо если один из механизмов рассеяния преобладает над другим при T = 273 К.

$$\lambda{{(273)} = {9.99 \cdot 10^{- 8}}}$$; $$v_{F} = {3.19 \cdot 10^{6}}$$; $$\tau_{f}{{(273)} = {3.13 \cdot 10^{- 14}}}$$

Воспользуемся формулой для электропроводности: $$\sigma{{(T)} = \frac{1}{\rho{(T)}} = \frac{e^{2}n_{0}\tau_{\Sigma}{(T)}}{m'}}$$, где $$e = {1.6 \cdot 10^{- 19}}$$ — заряд электрона, $$\rho{{(273)} = {2.2 \cdot 10^{- 8}}}$$ — удельное сопротивление золота при Н.У. $$\tau_{\Sigma}{{(273)} = \frac{m'}{\rho{(273)}e^{2}n_{0}} = {2.28 \cdot 10^{- 15}}}$$.

Подставив эти значения в правило Маттиссена, получим $$\tau_{d}{{(273)} = \left( {\left( {\tau_{\Sigma}{(273)}} \right)^{- 1} - \left( {\tau_{f}{(273)}} \right)^{- 1}} \right)^{- 1} = {2.46 \cdot 10^{- 15}}}$$.

Вывод: преобладает механизм рассеивания на дефектах, так как его время релаксации меньше. В сравнении со стандартным металлом Пиппарда, у которого скорость электронов на поверхности Ферми $$v_{F} = {1.4 \cdot 10^{6}}$$, у золота она выше: $$v_{F} = {3.19 \cdot 10^{6}}$$.

Построим график зависимости времени релаксации от температуры для обоих механизмов рассеивания и суммарный, считая что на дефектах оно будет постоянным.

Рис. 10 График зависимости времени релаксации от температуры

Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим общее время релаксации по правилу Маттиссена:

Таблица 4. Суммарное время релаксации $$\tau_{\Sigma}{({T,\tau_{d}})}$$

$$\tau_{d}$$\T	$$0.1 \cdot T_{D}$$	TD	Tпл
10-12	10-12	$$4.92 \cdot 10^{- 14}$$	$$6.35 \cdot 10^{- 15}$$
10-13	10-13	$$3.41 \cdot 10^{- 14}$$	$$6 \cdot 10^{- 15}$$
10-14	10-14	$$8.38 \cdot 10^{- 15}$$	$$3.9 \cdot 10^{- 15}$$

Вывод: С ростом температуры суммарное время релаксации уменьшается.

3.3) Исследование температурной зависимости электропроводности и теплопроводности металлов

Теплопроводность металла можно определить исходя из закона Видемана-Франца: $$\kappa{{(T)} = L_{0}}T\sigma{(T)}$$, где $${L_{0} = \frac{1}{3}}{\left( \frac{\pi k_{0}}{e} \right)^{2} = {2.45 \cdot 10^{- 8}}}$$ — число Лоренца, в чьей формуле присутствует $$k_{0} = {1.38 \cdot 10^{- 23}}$$ — постоянная Больцмана, а $$\sigma{(T)}$$ — электропроводность, выраженная через время релаксации из предыдущего подпункта.

Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим электропроводность и теплопроводность:

Таблица 5. Значения электропроводности $$\sigma{({T,\tau_{d}})}$$

$$\tau_{d}$$\T	$$0.1 \cdot T_{D}$$	TD	Tпл
10-12	$$1.99 \cdot 10^{10}$$	$$0.98 \cdot 10^{8}$$	$$1.26 \cdot 10^{8}$$
10-13	$$1.99 \cdot 10^{9}$$	$$6.79 \cdot 10^{8}$$	$$1.2 \cdot 10^{8}$$
10-14	$$1.99 \cdot 10^{8}$$	$$1.67 \cdot 10^{8}$$	$$7.76 \cdot 10^{7}$$

Таблица 6. Значения иеплопроводности $$\kappa{({T,\tau_{d}})}$$

$$\tau_{d}$$\T	$$0.1 \cdot T_{D}$$	TD	Tпл
10-12	$$8.05 \cdot 10^{3}$$	$$3.96 \cdot 10^{3}$$	$$4.14 \cdot 10^{3}$$
10-13	805	$$2.75 \cdot 10^{3}$$	$$3.95 \cdot 10^{3}$$
10-14	80.5	675	$$2.54 \cdot 10^{3}$$

Изобразим их на графиках:

Рис. 11 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при $$\tau_{d} = 10^{- 12}$$

Рис. 12 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при $$\tau_{d} = 10^{- 13}$$

Рис. 13 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при $$\tau_{d} = 10^{- 14}$$

Рис. 14 Графики электропроводностей и теплопроводностей при различных $$\tau_{d}$$

Вывод: С ростом концентрации дефектов ($$N \sim \frac{1}{\tau_{d}}$$) температурные зависимости электропроводности и теплопроводности «выпрямляются», вместе с чем также уменьшается их значение в каждой точке. При этом, с ростом температуры электропроводность убывает, а теплопроводность возрастает.

3.4) Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления

Как было вычислено в подпункте 3.2, время релаксации для рассеивания на дефектах $$\tau_{d} = {2.46 \cdot 10^{- 15}}$$. Тогда количество дефектов в металле $$N_{\mathit{деф}} = \frac{1}{\tau_{d}} = {4.07 \cdot 10^{14}}$$.

Вывод: В сравнении с концентрацией носителей заряда $$n_{0} = {7.08 \cdot 10^{29}}$$, количество дефектов меньше на 10 порядков, что можно назвать приемлемым значением.

4) Рассчитать и построить зависимость электропроводности от толщины металлической пленки при заданной температуре. Определить минимально возможную толщину металлизации.

Графики зависимости электропроводности плёнки от толщины $$\rho_{\mathit{пл}}{(d)}$$ будут построены для двух значений параметра зеркальности p₁ = 0 и p₂ = 0.5 в диапазоне температур $$T \gg T_{D}$$.

В предыдущем пункте при T = T_пл — температуре плавления была рассчитана длина свободного пробега $$\lambda{{(T_{\mathit{пл}})} = 0.02}\mathit{мкм}$$. Удельное сопротивление объёмного образца $$\rho = {2.2 \cdot 10^{- 8}}$$.

Для «толстой плёнки» при параметре зеркальности p < 1 справедлива следующая формула: $$\rho_{\mathit{пл}1}{{({\gamma,p})} = \rho}\left\lbrack {{1 + \frac{3}{8\gamma}}{({1 - p})}} \right\rbrack$$. Аналогично, для «тонкой плёнки» $$\gamma \ll 1$$: $$\rho_{\mathit{пл}2}{{({\gamma,p})} = \rho}\left\lbrack {\frac{4}{3\gamma\left( {\ln{{(\gamma^{- 1})} + 0.423}} \right)} \cdot \frac{({1 - p})}{({1 + p})}} \right\rbrack$$, где $$\gamma = \frac{d}{\lambda{(T_{\mathit{пл}})}}$$

Рис. 15 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре зеркальности 0

Рис. 16 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре зеркальности 0.5

При p = 1 (весь импульс электрона по направлению тока сохраняется), размерный эффект отсутствует

Минимальную возможную толщину металлизации можно определить из вышеприведённых графиков, выбрав такую $$\gamma$$, что при заданном масштабе $$\rho_{1}{({\gamma,p})}$$ практически сольётся с $$\rho$$. Для данного металла это будет $$\gamma = 3$$. Тогда толщина $${d = \gamma}\lambda{{(T_{\mathit{пл}})} = 61.2}\mathit{нм}$$

Вывод: тонкие плёнки обладают низкой электропроводностью, однако, уже начиная с толщины $${d = 61.2}\mathit{нм}$$ плёнка из золота должна демонстрировать металлические свойства. При этом, при большем коэффициенте зеркальности поверхности, действительно, удельное сопротивление по мере уменьшения толщины плёнки возрастает в меньшей степени.

5) Определить эффективную массу носителей заряда, их концентрацию и степень вырождения электронно-дырочного газа в заданном собственном полупроводнике в данном диапазоне температур. Рассчитать и построить зависимости концентрации, подвижности и электропроводности от температуры для заданного примесного полупроводника.

5.1) Определить эффективную массу носителей заряда

Из табл. 2 известно, что для полупроводника InSb эффективные массы электронов и «дырок» соответственно:

$$m_{n}{' = {0.0133 \cdot 9.1 \cdot 10^{- 31}} = {1.21 \cdot 10^{- 32}}}\mathit{кг}$$ и $$m_{p}{' = {0.6 \cdot 9.1 \cdot 10^{- 31}} = {5.46 \cdot 10^{- 31}}}\mathit{кг}$$.

5.2) Оценка степени вырождения электронного газа

Зависимость энергии Ферми от температуры имеет следующий вид: $$E_{F}{{(T)} = {\frac{E_{G}}{2} + \frac{3}{4}}}k_{0}T\ln\left( \frac{m_{p}'}{m_{n}'} \right)$$, где $${E_{G} = 0.17}\mathit{эВ}$$ — ширина запрещённой зоны. (отсчёт идёт от потолка валентной зоны (E_C). Соответствующее выражение для тепловой энергии: $$E_{T}{{(T)} = k_{0}}T$$. Их график представлен на рис. 17.

Рис. 17 График температурной зависимости энергии Ферми и тепловой энергии

Как видно из графика, критерий вырожденности $$E_{F}{{(T)} > E_{T}}{(T)}$$ выполняется для всех рассматриваемых температур, следовательно в этих условиях, электронный газ является вырожденным. Это значит, что он описывается распределением Ферми-Дирака: $$f_{a}{{(E_{n})} = \frac{1}{\exp{\left( \frac{{E_{n} - E_{F}}{(T)}}{\mathit{kT}} \right) + 1}}}$$. Например, для $${T = 300}$$К, распределение показано на рис. 18.

Рис. 18 Распределение Ферми-Дирака носителей заряда по энергиям при $${T = 300}$$К

5.3) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для собственного полупроводника

Зависимости концентрации электронов и дырок от температуры имеют следующий вид:

$$n_{0}{{(T)} = 2}{\left( \frac{2\pi m_{n}'k_{0}T}{h^{2}} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \exp}\left\lbrack \frac{E_{F}{{(T)} - E_{G}}}{k_{0}T} \right\rbrack$$

$$p_{0}{{(T)} = 2}{\left( \frac{2\pi m_{p}'k_{0}T}{h^{2}} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \exp}\left\lbrack {- \frac{E_{F}{(T)}}{k_{0}T}} \right\rbrack$$

Их график приведён на рис. 19.

Рис. 19 График зависимостей концентрации электронов и дырок от температуры

5.4) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для примесного полупроводника

В работе рассмотрена донорная примесь Te с энергией ионизации в кристаллической решётке антимонида индия E_g = E_d = 0.003 эВ. Её концентрация N_d = 10²² м^-3.

Тогда, концентрация электронов в ней равна $$n_{d}{{(T)} = \frac{2N_{d}}{1 + \sqrt{{1 + {\frac{8N_{d}}{2\left( \frac{2\pi m_{p}'k_{0}T}{h^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \exp}}\left\lbrack \frac{E_{g}}{k_{0}T} \right\rbrack}}}$$

Кроме этого, справедливы аппроксимации:

$$n_{d1}{(T)}:\sqrt{\frac{1}{2}N_{d}\left( \frac{2\pi m_{n}'}{h^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}}{{({k_{0}T})}^{\frac{3}{4}} \cdot \exp}\left\lbrack {- \frac{E_{g}}{2k_{0}T}} \right\rbrack$$

$$n_{d2}{{(T)} = N_{d}}$$

Тогда полная концентрация электронов донорного полупроводника будет суммой концентраций собственного и полученных от донорной примеси.

$$n{{(T)} = n_{0}}{{(T)} + n_{d}}{(T)}$$

Рис. 20 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике от обратной температуры

Рис. 21 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике от температуры

По графику определяются температуры перехода к собственной проводимости и истощения примесей: T_s = 148 К (точка пересечения n_d1(T) и n(T)) и T_i = 366 К (момент, когда n_d1(T) становится больше N_d). Таким образом, I — область примесной ионизации, II — область истощения, III — область собственной ионизации.

5.5) Исследование зависимости подвижности от температуры для примесного полупроводника

Аппроксимирующие выражения для электронной и дырочной проводимостей:

$$\mu_{n} = {76000 \cdot 10^{- 4} \cdot \left( \frac{T}{300} \right)^{- 2}}$$, $$\mu_{p} = {5000 \cdot 10^{- 4} \cdot \left( \frac{T}{300} \right)^{- 2.7}}$$, где $${\mu_{n300} = 7600}{\mathit{см}^{2} \cdot$$В \cdot с} и $${\mu_{p300} = 5000}{\mathit{см}^{2} \cdot$$В \cdot с} — подвижности при 300 К.

Их график приведён на рис. 22.

Рис. 22 График подвижностей электронов и дырок

5.6) Исследование зависимости электропроводности от температуры для примесного полупроводника

Электропроводность проводника выражается следующим образом:

$$\sigma{{(T)} = e}n{(T)}\mu_{n}{{(T)} + e}p{(T)}\mu_{p}{(T)}$$, где p(T) — концентрация дырок из подпункта 5.3, а n(T) — суммарная концентрация электронов из 5.4. График приведён на рис. 23

Рис. 23 График электропроводности примесного полупроводника

Вывод: ввиду вырожденности, электронный газ описывается распределением Ферми-Дирака. В собственном полупроводнике количество электронов и дырок равно, поэтому зависимости концентраций совпадают. Добавление донорной примеси увеличивает концентрацию электронов, однако, с ростом температуры они истощаются и полупроводник переходит к собственной ионизации. С ростом температуры за счёт ионизации, а значит увеличения количества носителей заряда, в отличие от металла, проводимость полупроводника растёт.

6) Рассчитать зависимости энергии Ферми и термодинамической работы выхода для примесного полупроводника от температуры.

Термодинамическая работа выхода для собственного полупроводника определяется следующим выражением:

$$\Phi_{n}{{(T)} = {\chi + E_{F}}}{{(T)} = {\chi + \frac{1}{2}}}{E_{G} + \frac{3}{4}}k_{0}T\ln\left( \frac{m_{p}'}{m_{n}'} \right)$$, где E_F(T) — энергия Ферми из п. 5.2, $${\chi = E_{c} = 4.665}\mathit{эВ}$$ - энергия сродства

Тогда расчёты

$$E_{F}{{({0.1T_{D}})} = {1.43 \cdot 10^{- 20}}}{\mathit{Дж} = 0.09}\mathit{эВ}$$; $$\Phi_{n}{{({0.1T_{D}})} = {7.61 \cdot 10^{- 19}}}{\mathit{Дж} = 4.75}\mathit{эВ}$$

$$E_{F}{{(T_{D})} = {2.01 \cdot 10^{- 20}}}\mathit{Дж}$$; $$\Phi_{n}{{(T_{D})} = {7.67 \cdot 10^{- 19} \cdot \mathit{Дж}}}$$

$$E_{F}{{(T_{\mathit{пл}})} = {6.63 \cdot 10^{- 20}}}\mathit{Дж}$$; $$\Phi_{n}{{(T_{\mathit{пл}})} = {8.13 \cdot 10^{- 19}}}\mathit{Дж}$$

Для примесного полупроводника, соответственно:

$$E_{F}{{(T)} = {\frac{E_{C} + E_{d}}{2} + \frac{1}{2}}}k_{0}T\ln\left( \frac{N_{d}}{2N_{c}{(T)}} \right)$$ и $$\Phi_{n}{{(T)} = {\chi + k_{0}}}T\ln\left( \frac{N_{c}{(T)}}{N_{d}} \right)$$,

где E_c = E_G; E_d = E_g; $$N_{c}{{(T)} = 2}\left( \frac{m_{n}'k_{0}T}{2\pi h^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$

И расчёты:

$$E_{F}{{({0.1T_{D}})} = {1.69 \cdot 10^{- 20}}}{\mathit{Дж} = 0.11}\mathit{эВ}$$; $$\Phi_{n}{{({0.1T_{D}})} = {7.44 \cdot 10^{- 19}}}{\mathit{Дж} = 4.65}\mathit{эВ}$$

$$E_{F}{{(T_{D})} = {2.10 \cdot 10^{- 20}}}\mathit{Дж}$$; $$\Phi_{n}{{(T_{D})} = {7.35 \cdot 10^{- 19}}}\mathit{Дж}$$

$$E_{F}{{(T_{\mathit{пл}})} = {2.74 \cdot 10^{- 20}}}\mathit{Дж}$$; $$\Phi_{n}{{(T_{\mathit{пл}})} = {7.11 \cdot 10^{- 19}}}\mathit{Дж}$$

Вывод: в примесном полупроводнике энергия Ферми и работа выхода меньше, чем в собственном, но в обоих случаях растут по мере возрастания температуры.

7) Построить энергетическую диаграмму заданной пары металл-полупроводник в выбранном масштабе для случаев: без смещения, при прямом и обратном смещениях. Рассчитать вольтамперную характеристику контакта в данном диапазоне температур.

7.1) Энергетическая диаграмма

Рис. 24 Энергетическая диаграмма металл-вакуум-полупроводник

Рис. 25 Энергетическая диаграмма металл-полупроводник

Вывод: Так как $$\Phi_{\mathit{ме}} < \Phi_{\mathit{пп}}^{n}$$, следовательно, наблюдается анти-барьер Шоттки, или омический контакт.

7.2) Вольт-амперная характеристика

В ходе построений было вычислено, что работа выхода из примесного полупроводника $${\Phi_{\mathit{пп}}^{n} = 4.68}\mathit{эВ}$$, энергия контактной разности потенциалов $$e{\phi_{k} = {\Phi_{\mathit{ме}} - \Phi_{\mathit{пп}}^{n}} = {- 0.1}}\mathit{эВ}$$.

Тогда, согласно уравнению Ричардсона, плотность тока $$j{{(U)} = {j_{n} - j_{\mathit{me}}} = {\mathit{AT}^{2} \cdot \exp}}{\left\lbrack {- \frac{e{\phi_{k} + \mathit{eU}}}{\mathit{kT}}} \right\rbrack - {\mathit{AT}^{2} \cdot \exp}}{\left\lbrack {- \frac{e\phi_{k}}{\mathit{kT}}} \right\rbrack = j_{s}}\left( {\exp{\left\lbrack \frac{\mathit{eU}}{\mathit{kT}} \right\rbrack - 1}} \right)$$.

Где $${j_{s} = {\mathit{AT}^{2} \cdot \exp}}\left\lbrack {- \frac{e\phi_{k}}{\mathit{kT}}} \right\rbrack$$ - плотность тока насыщения.

Для трёх температур на рис. 28-30 приведены графики ВАХ.

Рис. 28 ВАХ контакта при T = 300 К

Рис. 29 ВАХ контакта при T = 250 К

Рис. 30 ВАХ контакта при T = 50 К

Вывод: анти-барьер Шоттки виден и на ВАХ, где в области небольших напряжений выполняется закон Ома. Сопротивление в ней определяется только сопротивлением приконтактной области полупроводника.

8) Рассчитать концентрацию носителей заряда в заданном полупроводнике для создания омического контакта к металлу.

Как видно из п. 7, контакт Au-InSb образует анти-барьер Шоттки, поэтому дополнительно легированный буферный слой не требуется.

9) Сделать выводы и дать рекомендации по применению исследуемого контакта металл-полупроводник

В работе были исследованы металл золото (Au) и полупроводник антимонид индия (InSb). Оба материала имеют гранецентрированную кристаллическую решётку, характеристики каждой были исследованы в п. 1.

В п. 2 на основании вычисления концентрации свободных электронов было выяснено, что к металлу неприменима теория свободных электронов.

Золото является хорошим проводником, что было подтверждено в п. 3, где была исследована температурная зависимость проводимости и связанные с ней характеристики и влияние на неё дефектов кристаллической решётки.

При этом, как показано в п. 4, при толщине менее 60 нм начинает сказываться размерный эффект — при отражении на неровностях теряется импульс по направлению движения электронов, из-за чего сильно возрастает сопротивление.

В п. 5 на основании заданных эффективных масс электронов и «дырок» было выяснено, что антимонид индия является вырожденным, а значит, должно использоваться распределение Ферми-Дирака. Однако, далее в расчётах использовались формулы для невырожденного случая. В собственном полупроводнике, действительно, концентрации электронов и «дырок» совпали.

С добавлением донорной примеси теллура (Te) при низких температурах концентрация электронов возрастает за счёт ионизации примесей, однако, по мере роста температуры они истощаются и уже при 366 К их вклад становится пренебрежимо мал. Проводимость полупроводника на несколько порядков меньше, чем у металла и возрастает по мере роста температуры.

В п. 6 было показано, что добавление примеси в полупроводник уменьшает работу выхода.

На основании энергетических диаграмм, построенных в п. 7 было выяснено, что золото и антимонид индия, легированных теллуром образуют омический контакт с высотой барьера $${\Phi_{Б} = {- 0.1}}\mathit{эВ}$$ и энергией сродства полупроводника $${\chi = 4.665}\mathit{эВ}$$. Поэтому на вольт-амперной характеристике при небольших напряжениях наблюдается прямой участок, подчиняющийся закону Ома. При этом, так как с ростом напряжении при прямом включении наблюдается значительный рост тока, а при обратном «запирание» диода.

Таким образом, полученный контакт можно использовать для соединения полупроводниковых приборов с металлическими выводами. Его удельное сопротивление получается порядка 10^-14 Ом. Однако, уже при напряжениях порядка сотых долей вольта контакт становится выпрямляющим.

Список литературы

1. Ситникова М.В. Методические указания к решению задач на практических занятиях по дисциплине «Основы электроники и радиоматериалы», СпбГЭТУ «ЛЭТИ», 2021
2. Астанин В.В. Электронное строение и кристаллическая структура твердых тел. Учебное пособие. / Уфа: УГАТУ, 2007,- 132с.
3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т.1. М.: Мир, 1979
4. Гольдберг Ю.А. Омический контакт металл--полупроводник AIIIBV: методы создания и свойства // Физика и техника полупроводников. 1994, вып (№) 10. С. 1681-1689