---
papersize: a4
fontsize: 14pt
geometry: margin=20mm
header-includes:
  - \usepackage{fontspec}
  - \usepackage{unicode-math}
  - \setmainfont{DejaVu Serif}
---

Детерминированый сигнал:

$$s = \{ s_1, \dots, s_n \}$$

Аддитивный белый Гауссовский шум $n_\text{ш}$:

$$
\mu = 0; \quad
K = \left[ \begin{matrix}
    \sigma^2 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 2\sigma^2 & \cdots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & \cdots & n \sigma^2
\end{matrix} \right]
$$

Гипотезы:
$$\begin{cases} H_0: & x = n_\text{ш} \\ H_1: & x = n_\text{ш} + s\end{cases}$$

Плотности распределения:

$$w(x_1, \dots, x_n | H_0) = \prod_{i=1}^n w(x_i | H_0) = \prod_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 i}} \exp \left\{ -\dfrac{x_i^2}{2 \sigma^2 i} \right\}$$

$$w(x_1, \dots, x_n | H_1) = \prod_{i=1}^n w(x_i | H_1) = \prod_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 i}} \exp \left\{ -\dfrac{(x_i - s_i)^2}{2 \sigma^2 i} \right\}$$

Соотношение неопределённости:

$$L = \dfrac{w(x_1, \dots, x_n | H_1)}{w(x_1, \dots, x_n | H_0)} \gtrless^{H_1^*}_{H_0^*} L_{\text{пор}}$$

$$L = \prod_{i=1}^{n} \exp \left\{ - \dfrac{(x_i-s_i)^2 - x_i^2}{2 \sigma^2 i} \right\} = \prod_{i=1}^n \exp \left\{ - \dfrac{s_i^2 - 2 x_i s_i }{2 \sigma^2 i}  \right\}$$

$$ \ln L = \sum_{i=1}^n \left[ \dfrac{2 x_i s_i}{2 \sigma^2 i} - \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i} \right] \gtrless^{H_1^*}_{H_0^*} Z_{\text{пор}}$$

Вероятность ложной тревоги:

$$\alpha = P(H_1^* | H_0) = P(Z > Z_{\text{пор}} | H_0) = \int_{Z_{\text{пор}}}^{\infty} w(Z|H_0) dZ$$

Плотность вероятности $Z$ как линейной комбинации отсчётов $x_i$:

$$ w(x_i) = \mathcal{N}(\overline x_i, \sigma^2 i); \quad Z = \mathscr{L}[x_1, \dots, x_n] \Rightarrow w(Z) = \mathcal{N}(\overline Z, \sigma_Z^2)$$

Математическое ожидание:

$$\overline{x_i} = \begin{cases} 0, & H_0 \\ s_i, & H_1\end{cases}$$

$$ \overline Z = \overline{\sum_{i = 1}^n \dfrac{x_i s_i}{\sigma^2 i} - \sum_{i = 1}^n \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i}} = \sum_{i = 1}^n \dfrac{ \overline{x_i} s_i}{\sigma^2 i} - \sum_{i = 1}^n \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i} = \begin{cases} 0 - C, & H_0 \\ 2C - C, & H_1 \end{cases} = \begin{cases} -C, &H_0 \\ C, & H_1\end{cases}$$

$$C = \sum_{i = 1}^n \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i}$$

Дисперсия:

$$ i \ne j \Rightarrow ~\mathcal{D}[x_i + x_j] = \mathcal{D}[x_i] + \mathcal{D}[x_j] + 2 \mathrm{cov}[x_i,x_j] = \sigma^2 i + \sigma^2 j$$

$$\sigma_Z^2 = \mathcal{D} \left[ \sum_{i = 1}^n \dfrac{x_i s_i}{\sigma^2 i} - \sum_{i = 1}^n \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i} \right] = \sum_{i=1}^n \mathcal{D}\left[ x_i \right] \dfrac{s_i^2}{\sigma^4 i^2} = \sum_{i=1}^n \dfrac{s_i^2}{\sigma^2 i} = 2C$$

Плотность распределения при отсутствии сигнала:

$$w(Z|H_0) = \mathcal{N}(-C, 2C)$$

Выражение порога через выбранную вероятность ложной тревоги $\alpha = \mathrm{const}$:

$$\alpha = \int_{Z_{\text{пор}}}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot 2 C}} \exp \left\{ - \dfrac{(Z + C)^2}{2 \cdot 2C} \right\} dZ = 1 - \Phi \left( \dfrac{Z_{\text{пор}} + C}{\sqrt{2C}} \right)$$

$$Z_{\text{пор}} = \sqrt{2C} \Phi^{-1}(1 - \alpha) - \sqrt\frac{C}{2}$$

$$w(Z|H_1) = \mathcal{N}(C, 2C)$$

Вероятность пропуска:

$$\beta = P(H_0^* | H_1) = P(Z < Z_{\text{пор}} | H_1) = \Phi \left( \dfrac{Z_{\text{пор}} - C}{\sqrt{2C}} \right)$$

Так как функция Лапласа $\Phi(x)$ неубывающая:

$$\min \beta \rightarrow \min \dfrac{Z_{\text{пор}} - C}{\sqrt{2C}} = \min \left[\Phi^{-1}(1 - \alpha) - \frac{1}{2}  - \sqrt\dfrac{C}{2} \right] \Rightarrow \max C$$

Максимизация $C$ методом неопределённых множителей Лагранжа:

$$\max \sum_{i=1}^n \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i}; \quad \sum_{i=1}^n s_i = 1$$

Лагранжиан:

$$\mathcal{L}(s_1, \dots, s_n, \lambda) = \sum_{i=1}^n \dfrac{s_i^2}{2 \sigma^2 i} + \lambda \left( \sum_{i=1}^n s_i - 1 \right)$$

Частные производные приравниваются к 0 $\Rightarrow$ выражение для $s_i$:

$$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_i} = \dfrac{s_i}{\sigma^2 i} + \lambda = 0 \Rightarrow s_i = -\lambda \sigma^2 i$$

Выражение $\lambda$:

$$\sum_{i=1}^n (-\lambda \sigma^2 i) = -\lambda \sigma^2 \sum_{i=1}^n i = -\lambda \sigma^2 \cdot n\dfrac{n+1}{2} = 1$$

$$\lambda = - \dfrac{2}{\sigma^2 n (n+1)}$$

Подстановка в $s_i$:

$$s_i = \dfrac{2 i}{n(n+1)}$$

Максимальное C:

$$C = \sum_{i=1}^n \left(\dfrac{2 i}{n(n+1)} \right)^2 \dfrac{1}{2 \sigma^2 i} = \dfrac{2}{\sigma^2 n^2(n-1)^2} \cdot n\dfrac{n-1}{2} = \dfrac{1}{\sigma^2 n (n-1)}$$

Минимальная вероятность пропуска:

$$\min \beta = \Phi \left( \Phi^{-1}(1-\alpha) - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{\sigma \sqrt{n(n-1)}} \right)$$