Студент гр. 1181 |
|
Шишков Д.А. |
Преподаватель |
|
Ситникова М.Ф. |
No ВАР. |
Элемент |
Структура |
Атомная масса |
Параметр решетки, Å |
Плотность, г/см3 |
Удельное сопротивление, мкОм·см |
Температура, К |
Работа выхода φ, эВ |
||
Дебая (TD) |
Ферми (TF·10-4) |
плавления (Tпл) |
||||||||
14 |
Au |
ГЦК |
196.9 |
4.08 |
19.28 |
2.2 |
165 |
6.39 |
1337 |
4.58 |
№ ВАР. |
Тип примеси |
Полупроводник |
Ширина запрещённой области |
Эффективная масса |
Подвижность при 300К |
Работа выхода, Эв |
||
EG (300 К), Эв |
m"n/me |
m’’p/me |
μn, см2·В1·с1 |
μp, см2·В1·с1 |
||||
6 |
n |
InSb |
0.17 |
0.0133 |
0.6 |
76000 |
5000 |
4.75 |
№ вар. |
3 |
концентрация примесей, м-3 |
1022 |
Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки
Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба
Рис. 3 Изображение центра симметрии куба
Базисные вектора:
, 
, 
Подставляя параметр решётки 
, 
, 
Кристаллическая решётка по заданным векторам построена на рис. 4
Рис. 4 Тройка основных векторов для ГЦК решётки
Объём элементарной ячейки:
Базисные вектора обратной решётки:
; 
, 
, 
Что соответствует ОЦК. Её изображение на рис. 5.
Рис. 5 Обратная решётка для ГЦК — ОЦК
Первая зона Бриллюэна (рис. 6):
Рис. 6 Первая зона Бриллюэна
Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:
- центр верхнего квадрата, по
направлению \[001\]
- центр шестиугольника, по
направлению \[111\]
- середина грани соединяющей
два шестиугольника, по направлению \[101\]
## 1.2) Полупроводник - антимонид индия (InSb)
Рис. 7 Антимонид индия
Структура: Гранецентрированная кубическая решётка
Формула симметрии: 3L44L36L29PC
Класс симметрии: m3m
Изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего — см.
рис. 1-3.
Базисные вектора:
, 
, 
, считая, что постоянная решётки
= 1
Для параметра решётки 
, 
, 
Кристаллическая решётка по заданным векторам изображена на рис. 4.
Объём элементарной ячейки аналогично предыдущему пункту:
Базисные вектора в обратном пространстве:
; 
, 
, 
# 2) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов.
Связь радиуса Ферми с концентрацией электронов можно выяснить из
следующего выражения: 
. С другой стороны введено условие касания сферы Ферми
с границей зоны Бриллюэна. Из п. 1 известно, что наименьшие размеры она
имеет по направлению *
* , следовательно радиус Ферми для вписанной сферы
Тогда концентрация электронов: 
Концентрацию свободных электронов в металле также можно определить
пользуясь приближением слабой связи для:
, где Z — его валентность, N —
количество атомов в его элементарной ячейке, а V — её объём.
Для золота:
В элементарной ГЦК решётке N = 4 атома (см. рис. 8)
Рис. 8 Атомы элементарной ячейки ГЦК решётки
При Z = 1 
При Z = 2 
При Z = 3 
- наиболее частая
*Вывод:* Как видно, 
для любой возможной валентности,
следовательно, теория свободных электронов не применима. Тогда
эффективную массу электрона примем равной массе свободного электрона
кг. В сравнении со стандартным
металлом Пиппарда, у которого плотность электронов 
, а радиус Ферми 
, у золота они получаются
большими , 
.
# 3) Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1 - 10) *Т**D*. Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления.
## 3.1) Исследование температурной зависимости длины свободного пробега
Длина свободного пробега электронов в зависимости от температуры (если
она много больше температуры Дебая, то происходит упругое рассеяние,
иначе - неупругое) приблизительно рассчитывается согласно следующему
выражению:
.
Где 
, 
— параметр решётки, 
— температура плавления 
— температура Дебая.
, 
, 
Рис. 9 График зависимости длин свободного пробега от температуры
*Вывод:* с ростом температуры длина свободного пробега действительно
уменьшается.
## 3.2) Исследование влияния дефектов на время релаксации
Время релаксации для рассеивания на дефектах: 
Время релаксации для электрон-фононного
рассеивания
в
зависимости от температуры: 
, где 
— скорость электронов на поверхности Ферми.
В последней
формуле 
— постоянная Планка, 
— концентрация
носителей
заряда, — эффективная масса
электрона.
Тогда, согласно правилу Маттиссена суммарное время релаксации получается
следующим: 
.
Оно справедливо если
один
из
механизмов рассеяния
преобладает
над другим
при
*T *=
273 *К*.
; 
; 
Воспользуемся формулой для электропроводности: 
, где 
— заряд электрона, 
— удельное сопротивление золота при
Н.У. 
.
Подставив эти значения в правило
Маттиссена,
получим 
.
*В**ывод:*
преобладает механизм
рассеивания на дефектах,
так как его
время релаксации меньше.
В сравнении
со
стандартным металлом Пиппарда, у которого скорость электронов на
поверхности Ферми 
, у золота она выше: .
Построим график зависимости
времени
релаксации
от
температуры
для
обоих
механизмов рассеивания и суммарный, считая что на дефектах оно будет постоянным.
Рис. 10 График зависимости времени релаксации
от
температуры
Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим общее время релаксации
по
правилу
Маттиссена:
*Таблица 4. Суммарное время релаксации
*
|
|
TD |
Tпл |
10-12 |
10-12 |
|
|
10-13 |
10-13 |
|
|
10-14 |
10-14 |
|
|
, где 
— число Лоренца, в чьей формуле присутствует
— постоянная
Больцмана,
а 
— электропроводность, выраженная через время
релаксации из предыдущего подпункта.
Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах
вычислим электропроводность и теплопроводность:
*Таблица 5. Значения
электропроводности 
*
|
|
TD |
Tпл |
10-12 |
|
|
|
10-13 |
|
|
|
10-14 |
|
|
|
*
|
|
TD |
Tпл |
10-12 |
|
|
|
10-13 |
805 |
|
|
10-14 |
80.5 |
675 |
|
Рис. 11
Графики
зависимости электропроводности и
теплопроводности при 
Рис. 12 Графики
зависимости электропроводности и
теплопроводности при 
Рис. 13 Графики
зависимости электропроводности и
теплопроводности при 
Рис. 14 Графики электропроводностей и теплопроводностей
при различных 
*Вывод:* С ростом концентрации дефектов (
)
температурные зависимости
электропроводности и
теплопроводности «выпрямляются», вместе с чем также уменьшается их значение в каждой точке. При
этом, с ростом температуры электропроводность убывает, а теплопроводность возрастает.
## 3.4) Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления
Как было вычислено в подпункте 3.2, время релаксации для рассеивания на
дефектах 
. Тогда количество дефектов в
металле 
.
*Вывод:* В сравнении с концентрацией носителей заряда , количество дефектов меньше на 10 порядков, что можно назвать приемлемым
значением.
# 4) Рассчитать и построить зависимость электропроводности от толщины металлической пленки при заданной температуре. Определить минимально возможную толщину металлизации.
Графики зависимости электропроводности плёнки от толщины 
будут построены для двух
значений параметра зеркальности *p*1 = 0 и *p*2 =
0.5 в диапазоне температур 
.
В предыдущем пункте при *T = T**пл* — температуре плавления
была рассчитана длина свободного пробега . Удельное сопротивление
объёмного образца 
.
Для «толстой плёнки» при параметре зеркальности *p* < 1 справедлива
следующая формула: 
. Аналогично, для «тонкой
плёнки» 
: 
, где 
Рис. 15 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре
зеркальности 0
Рис. 16 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре
зеркальности 0.5
При p = 1 (весь импульс электрона по направлению тока сохраняется),
размерный эффект отсутствует
Минимальную возможную толщину металлизации можно определить из
вышеприведённых графиков, выбрав такую 
, что при заданном масштабе
практически сольётся с 
. Для данного металла это будет
. Тогда толщина 
*Вывод:* тонкие плёнки обладают низкой электропроводностью, однако, уже
начиная с толщины 
плёнка из золота должна
демонстрировать металлические свойства. При этом, при большем
коэффициенте зеркальности поверхности, действительно, удельное
сопротивление по мере уменьшения толщины плёнки возрастает в меньшей
степени.
# 5) Определить эффективную массу носителей заряда, их концентрацию и степень вырождения электронно-дырочного газа в заданном собственном полупроводнике в данном диапазоне температур. Рассчитать и построить зависимости концентрации, подвижности и электропроводности от температуры для заданного примесного полупроводника.
## 5.1) Определить эффективную массу носителей заряда
Из табл. 2 известно, что для полупроводника InSb эффективные массы
электронов и «дырок» соответственно:
и 
.
## 5.2) Оценка степени вырождения электронного газа
Зависимость энергии Ферми от температуры имеет следующий вид: 
, где 
— ширина запрещённой зоны.
(отсчёт идёт от потолка валентной зоны (*E**C*).
Соответствующее выражение для тепловой энергии: 
. Их график представлен на рис.
17.
Рис. 17 График температурной зависимости энергии Ферми и тепловой
энергии
Как видно из графика, критерий вырожденности 
выполняется для всех
рассматриваемых температур, следовательно в этих условиях, электронный
газ является вырожденным. Это значит, что он описывается распределением
Ферми-Дирака: 
. Например, для 
, распределение показано на
рис. 18.
Рис. 18 Распределение Ферми-Дирака носителей заряда по энергиям при
## 5.3) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для собственного полупроводника
Зависимости концентрации электронов и дырок от температуры имеют
следующий вид:
Их график приведён на рис. 19.
Рис. 19 График зависимостей концентрации электронов и дырок от
температуры
## 5.4) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для примесного полупроводника
В работе рассмотрена донорная примесь Te с энергией ионизации в
кристаллической решётке антимонида индия *E**g* =
*E**d* = 0.003 *эВ*. Её концентрация *N**d* =
1022 *м*-3.
Тогда, концентрация электронов в ней равна 
Кроме этого, справедливы аппроксимации:
Тогда полная концентрация электронов донорного полупроводника будет
суммой концентраций собственного и полученных от донорной примеси.
Рис. 20 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике
от обратной температуры
Рис. 21 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике
от температуры
По графику определяются температуры перехода к собственной проводимости
и истощения примесей: *T**s* = 148 *К* (точка пересечения
*n**d*1(*T*) и *n*(*T*)) и *T**i* = 366 *К*
(момент, когда *n**d1*(*T*) становится больше Nd).
Таким образом, I — область примесной ионизации, II — область истощения,
III — область собственной ионизации.
## 5.5) Исследование зависимости подвижности от температуры для примесного полупроводника
Аппроксимирующие выражения для электронной и дырочной проводимостей:
, 
, где 
и 
— подвижности при 300 К.
Их график приведён на рис. 22.
Рис. 22 График подвижностей электронов и дырок
## 5.6) Исследование зависимости электропроводности от температуры для примесного полупроводника
Электропроводность проводника выражается следующим образом:
, где *p*(*T*) — концентрация
дырок из подпункта 5.3, а *n*(*T*) — суммарная концентрация электронов
из 5.4. График приведён на рис. 23
Рис. 23 График электропроводности примесного полупроводника
*Вывод*: ввиду
вырожденности, электронный газ описывается распределением Ферми-Дирака.
В собственном полупроводнике количество электронов и дырок равно,
поэтому зависимости концентраций совпадают. Добавление донорной примеси
увеличивает концентрацию электронов, однако, с ростом температуры они
истощаются и полупроводник переходит к собственной ионизации. С ростом
температуры за счёт ионизации, а значит увеличения количества носителей
заряда, в отличие от металла, проводимость полупроводника растёт.
# 6) Рассчитать зависимости энергии Ферми и термодинамической работы выхода для примесного полупроводника от температуры.
Термодинамическая работа выхода для собственного полупроводника
определяется следующим выражением:
, где *E**F*(*T*) —
энергия Ферми из п. 5.2, 
- энергия сродства
Тогда расчёты
; 
; 
; 
Для примесного полупроводника, соответственно:
и 
,
где *E**c* = *E**G*; *E**d* =
*E**g*; 
И расчёты:
; 
; 
; 
Вывод: в примесном полупроводнике энергия Ферми и работа выхода меньше,
чем в собственном, но в обоих случаях растут по мере возрастания
температуры.
#
# 7) Построить энергетическую диаграмму заданной пары металл-полупроводник в выбранном масштабе для случаев: без смещения, при прямом и обратном смещениях. Рассчитать вольтамперную характеристику контакта в данном диапазоне температур.
## 7.1) Энергетическая диаграмма
Рис. 24 Энергетическая диаграмма металл-вакуум-полупроводник
Рис. 25 Энергетическая диаграмма металл-полупроводник
Вывод: Так как 
, следовательно, наблюдается
анти-барьер Шоттки, или омический контакт.
## 7.2) Вольт-амперная характеристика
В ходе построений было вычислено, что работа выхода из примесного
полупроводника 
, энергия контактной разности
потенциалов 
.
Тогда, согласно уравнению Ричардсона, плотность тока 
.
Где 
- плотность тока насыщения.
Для трёх температур на рис. 28-30 приведены графики ВАХ.
Рис. 28 ВАХ контакта при *T* = 300 *К*
Рис. 29 ВАХ контакта при *T* = 250 *К*
Рис. 30 ВАХ контакта при *T* = 50 *К*
Вывод: анти-барьер Шоттки виден и на ВАХ, где в области небольших напряжений выполняется
закон Ома. Сопротивление в ней определяется только сопротивлением приконтактной области полупроводника.
# 8) Рассчитать концентрацию носителей заряда в заданном полупроводнике для создания омического контакта к металлу.
Как видно из п. 7, контакт Au-InSb образует анти-барьер Шоттки, поэтому
дополнительно легированный буферный слой не требуется.
# 9) Сделать выводы и дать рекомендации по применению исследуемого контакта металл-полупроводник
В работе были исследованы металл золото (Au) и полупроводник антимонид
индия (InSb). Оба материала имеют гранецентрированную кристаллическую
решётку, характеристики каждой были исследованы в п. 1.
В п. 2 на основании вычисления концентрации свободных электронов было
выяснено, что к металлу неприменима теория свободных электронов.
Золото является хорошим проводником, что было подтверждено в п. 3, где
была исследована температурная зависимость проводимости и связанные с
ней характеристики и влияние на неё дефектов кристаллической решётки.
При этом, как показано в п. 4, при толщине менее 60 нм начинает
сказываться размерный эффект — при отражении на неровностях теряется
импульс по направлению движения электронов, из-за чего сильно возрастает
сопротивление.
В п. 5 на основании заданных эффективных масс электронов и «дырок» было
выяснено, что антимонид индия является вырожденным, а значит, должно
использоваться распределение Ферми-Дирака. Однако, далее в расчётах
использовались формулы для невырожденного случая. В собственном
полупроводнике, действительно, концентрации электронов и «дырок»
совпали.
С добавлением донорной примеси теллура (Te) при низких температурах
концентрация электронов возрастает за счёт ионизации примесей, однако,
по мере роста температуры они истощаются и уже при 366 К их вклад
становится пренебрежимо мал. Проводимость полупроводника на несколько
порядков меньше, чем у металла и возрастает по мере роста температуры.
В п. 6 было показано, что добавление примеси в полупроводник уменьшает
работу выхода.
На основании энергетических диаграмм, построенных в п. 7 было выяснено,
что золото и антимонид индия, легированных теллуром образуют омический
контакт с высотой барьера 
и энергией сродства
полупроводника 
. Поэтому на вольт-амперной
характеристике при небольших напряжениях наблюдается прямой участок,
подчиняющийся закону Ома. При этом, так как с ростом напряжении при
прямом включении наблюдается значительный рост тока, а при обратном
«запирание» диода.
Таким образом, полученный контакт можно использовать для соединения
полупроводниковых приборов с металлическими выводами. Его удельное
сопротивление получается порядка 10-14 Ом. Однако, уже при
напряжениях порядка сотых долей вольта контакт становится выпрямляющим.
# Список литературы
1. Ситникова М.В. Методические указания к решению задач на практических
занятиях по дисциплине «Основы электроники и радиоматериалы»,
СпбГЭТУ «ЛЭТИ», 2021
2. Астанин В.В. Электронное строение и кристаллическая структура
твердых тел. Учебное пособие. / Уфа: УГАТУ, 2007,- 132с.
3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т.1. М.: Мир, 1979
4. Гольдберг Ю.А. Омический контакт металл--полупроводник AIIIBV:
методы создания и свойства // Физика и техника полупроводников.
1994, вып (№) 10. С. 1681-1689
32
