**МИНОБРНАУКИ РОССИИ** **Санкт-Петербургский государственный** **электротехнический университет** **«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)** **Кафедра Микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры** **(МИТ)** **ОТЧЕТ** **по ИДЗ** **по дисциплине «ОЭиР»** **Тема: Исследование контактных явлений в структуре металл-полупроводник** **Вариант ****25**** 14,6,3**

Студент гр. 1181		Шишков Д.А.
Преподаватель		Ситникова М.Ф.

Санкт-Петербург 2023 # Содержание [Задание](#__RefHeading___Toc9341_1004173995) [1) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К](#__RefHeading___Toc9343_1004173995) [1.1) Металл — золото (Au)](#__RefHeading___Toc9345_1004173995) [1.2) Полупроводник - антимонид индия (InSb)](#__RefHeading___Toc9347_1004173995) [2) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов](#__RefHeading___Toc9349_1004173995) [3) Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1 - 10) *Т*_*D*. Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления](#__RefHeading___Toc9351_1004173995) [3.1) Исследование температурной зависимости длины свободного пробега](#__RefHeading___Toc9353_1004173995) [3.2) Исследование влияния дефектов на время релаксации](#__RefHeading___Toc9355_1004173995) [3.3) Исследование температурной зависимости электропроводности и теплопроводности металлов](#__RefHeading___Toc9357_1004173995) [3.4) Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления](#__RefHeading___Toc9359_1004173995) [4) Рассчитать и построить зависимость электропроводности от толщины металлической пленки при заданной температуре. Определить минимально возможную толщину металлизации](#__RefHeading___Toc9365_1004173995) [5) Определить эффективную массу носителей заряда, их концентрацию и степень вырождения электронно-дырочного газа в заданном собственном полупроводнике в данном диапазоне температур. Рассчитать и построить зависимости концентрации, подвижности и электропроводности от температуры для заданного примесного полупроводника](#__RefHeading___Toc7584_2535136682) [5.1) Определить эффективную массу носителей заряда](#__RefHeading___Toc7586_2535136682) [5.2) Оценка степени вырождения электронного газа](#__RefHeading___Toc7588_2535136682) [5.3) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для собственного полупроводника](#__RefHeading___Toc7590_2535136682) [5.4) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для примесного полупроводника](#__RefHeading___Toc7592_2535136682) [5.5) Исследование зависимости подвижности от температуры для примесного полупроводника](#__RefHeading___Toc7951_3827154421) [5.6) Исследование зависимости электропроводности от температуры для примесного полупроводника](#__RefHeading___Toc7953_3827154421) [6) Рассчитать зависимости энергии Ферми и термодинамической работы выхода для примесного полупроводника от температуры](#__RefHeading___Toc7955_3827154421) [7) Построить энергетическую диаграмму заданной пары металл-полупроводник в выбранном масштабе для случаев: без смещения, при прямом и обратном смещениях. Рассчитать вольтамперную характеристику контакта в данном диапазоне температур](#__RefHeading___Toc7957_3827154421) [7.1) Энергетическая диаграмма](#__RefHeading___Toc7959_3827154421) [7.2) Вольт-амперная характеристика](#__RefHeading___Toc7961_3827154421) [8) Рассчитать концентрацию носителей заряда в заданном полупроводнике для создания омического контакта к металлу](#__RefHeading___Toc3417_2577644421) [9) Сделать выводы и дать рекомендации по применению исследуемого контакта металл-полупроводник](#__RefHeading___Toc7965_3827154421) [Список литературы](#__RefHeading___Toc9363_1004173995) # Задание Для заданной пары металл-полупроводник оценить кинетические свойства заданных материалов, рассчитать и построить энергетическую диаграмму и вольт-амперную характеристику контакта в заданном диапазоне температур, дать рекомендации по применению исследуемого контакта. *Таблица 1. Некоторые свойства металлов*

ВАР.

Элемент

Структура

Атомная масса

Параметр решетки, Å

Плотность, г/см3

Удельное сопротивление, мкОм·см

Температура, К

Работа выхода φ, эВ

Дебая (TD)

Ферми (TF·10^-4)

плавления (Tпл)

ГЦК

196.9

4.08

19.28

2.2

165

6.39

1337

4.58

*Таблица 2. Свойства cобственных полупроводников*

№ ВАР.

Тип примеси

Полупроводник

Ширина запрещённой области

Эффективная масса

Подвижность при 300К

Работа выхода, Эв

E_G (300 К), Эв

m"n/me

m’’p/me

μn,

см2·В1·с1

μp,

см2·В1·с1

InSb

0.17

0.0133

0.6

76000

5000

4.75

*Таблица 3. Концентрация n- и p- примесей в полупроводниках*

№ вар.	3
концентрация примесей, м^-3	10²²

# 1) Определить класс симметрии заданных материалов, построить прямую и обратную элементарные ячейки заданных материалов. Определить размеры Зоны Бриллюэна в направлениях X, L, К. ## 1.1) Металл — золото (Au): Структура: Гранецентрированная кубическая решётка Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC Класс симметрии: m3m Так как формулы симметрии ГЦК и простой кубической решётки совпадают, на рис. 1-3 приведены изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего

Рис. 1 Изображение осей симметрии кубической решётки

Рис. 2 Изображение плоскостей симметрии куба

Рис. 3 Изображение центра симметрии куба Базисные вектора:

Подставляя параметр решётки

Кристаллическая решётка по заданным векторам построена на рис. 4

Рис. 4 Тройка основных векторов для ГЦК решётки Объём элементарной ячейки:

Базисные вектора обратной решётки:

;

Что соответствует ОЦК. Её изображение на рис. 5.

Рис. 5 Обратная решётка для ГЦК — ОЦК Первая зона Бриллюэна (рис. 6):

Рис. 6 Первая зона Бриллюэна Размеры зоны Бриллюэна по направлениям X, L, K:

- центр верхнего квадрата, по направлению \[001\]

- центр шестиугольника, по направлению \[111\]

- середина грани соединяющей два шестиугольника, по направлению \[101\] ## 1.2) Полупроводник - антимонид индия (InSb)

Рис. 7 Антимонид индия Структура: Гранецентрированная кубическая решётка Формула симметрии: 3L₄4L₃6L₂9PC Класс симметрии: m3m Изображения осей, плоскостей и центра симметрии для последнего — см. рис. 1-3. Базисные вектора:

, считая, что постоянная решётки = 1 Для параметра решётки

Кристаллическая решётка по заданным векторам изображена на рис. 4. Объём элементарной ячейки аналогично предыдущему пункту:

Базисные вектора в обратном пространстве:

;

# 2) Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов. Связь радиуса Ферми с концентрацией электронов можно выяснить из следующего выражения:

. С другой стороны введено условие касания сферы Ферми с границей зоны Бриллюэна. Из п. 1 известно, что наименьшие размеры она имеет по направлению *

* , следовательно радиус Ферми для вписанной сферы

Тогда концентрация электронов:

Концентрацию свободных электронов в металле также можно определить пользуясь приближением слабой связи для:

, где Z — его валентность, N — количество атомов в его элементарной ячейке, а V — её объём. Для золота: В элементарной ГЦК решётке N = 4 атома (см. рис. 8)

Рис. 8 Атомы элементарной ячейки ГЦК решётки При Z = 1

При Z = 2

При Z = 3

- наиболее частая *Вывод:* Как видно,

для любой возможной валентности, следовательно, теория свободных электронов не применима. Тогда эффективную массу электрона примем равной массе свободного электрона

кг. В сравнении со стандартным металлом Пиппарда, у которого плотность электронов

, а радиус Ферми

, у золота они получаются большими

. # 3) Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и электропроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1 - 10) *Т*_*D*. Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления. ## 3.1) Исследование температурной зависимости длины свободного пробега Длина свободного пробега электронов в зависимости от температуры (если она много больше температуры Дебая, то происходит упругое рассеяние, иначе - неупругое) приблизительно рассчитывается согласно следующему выражению:

. Где

— параметр решётки,

— температура плавления

— температура Дебая.

Рис. 9 График зависимости длин свободного пробега от температуры *Вывод:* с ростом температуры длина свободного пробега действительно уменьшается. ## 3.2) Исследование влияния дефектов на время релаксации Время релаксации для рассеивания на дефектах:

Время релаксации для электрон-фононного рассеивания в зависимости от температуры:

, где

— скорость электронов на поверхности Ферми. В последней формуле

— постоянная Планка,

— концентрация носителей заряда,

— эффективная масса электрона. Тогда, согласно правилу Маттиссена суммарное время релаксации получается следующим:

. Оно справедливо если один из механизмов рассеяния преобладает над другим при *T *= 273 *К*.

;

Воспользуемся формулой для электропроводности:

, где

— заряд электрона,

— удельное сопротивление золота при Н.У.

. Подставив эти значения в правило Маттиссена, получим

. *В**ывод:* преобладает механизм рассеивания на дефектах, так как его время релаксации меньше. В сравнении со стандартным металлом Пиппарда, у которого скорость электронов на поверхности Ферми

, у золота она выше:

. Построим график зависимости времени релаксации от температуры для обоих механизмов рассеивания и суммарный, считая что на дефектах оно будет постоянным.

Рис. 10 График зависимости времени релаксации от температуры Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим общее время релаксации по правилу Маттиссена: *Таблица 4. Суммарное время релаксации

\T		T_D	T_пл
10^-12	10^-12
10^-13	10^-13
10^-14	10^-14

*Вывод:* С ростом температуры суммарное время релаксации уменьшается. ## 3.3) Исследование температурной зависимости электропроводности и теплопроводности металлов Теплопроводность металла можно определить исходя из закона Видемана-Франца:

, где

— число Лоренца, в чьей формуле присутствует

— постоянная Больцмана, а

— электропроводность, выраженная через время релаксации из предыдущего подпункта. Для разных температур и времён релаксации для рассеяния на дефектах вычислим электропроводность и теплопроводность: *Таблица 5. Значения электропроводности

\T	T_D	T_пл
10^-12
10^-13
10^-14

*Таблица 6. Значения иеплопроводности

\T		T_D	T_пл
10^-12
10^-13	805
10^-14	80.5	675

Изобразим их на графиках:

Рис. 11 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при

Рис. 12 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при

Рис. 13 Графики зависимости электропроводности и теплопроводности при

Рис. 14 Графики электропроводностей и теплопроводностей при различных

*Вывод:* С ростом концентрации дефектов (

) температурные зависимости электропроводности и теплопроводности «выпрямляются», вместе с чем также уменьшается их значение в каждой точке. При этом, с ростом температуры электропроводность убывает, а теплопроводность возрастает. ## 3.4) Оценить степень дефектности металла по заданной величине удельного сопротивления Как было вычислено в подпункте 3.2, время релаксации для рассеивания на дефектах

. Тогда количество дефектов в металле

. *Вывод:* В сравнении с концентрацией носителей заряда

, количество дефектов меньше на 10 порядков, что можно назвать приемлемым значением. # 4) Рассчитать и построить зависимость электропроводности от толщины металлической пленки при заданной температуре. Определить минимально возможную толщину металлизации. Графики зависимости электропроводности плёнки от толщины

будут построены для двух значений параметра зеркальности *p*₁ = 0 и *p*₂ = 0.5 в диапазоне температур

. В предыдущем пункте при *T = T*_*пл* — температуре плавления была рассчитана длина свободного пробега

. Удельное сопротивление объёмного образца

. Для «толстой плёнки» при параметре зеркальности *p* < 1 справедлива следующая формула:

. Аналогично, для «тонкой плёнки»

, где

Рис. 15 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре зеркальности 0

Рис. 16 График удельного сопротивления от толщины плёнки при параметре зеркальности 0.5 При p = 1 (весь импульс электрона по направлению тока сохраняется), размерный эффект отсутствует Минимальную возможную толщину металлизации можно определить из вышеприведённых графиков, выбрав такую

, что при заданном масштабе

практически сольётся с

. Для данного металла это будет

. Тогда толщина

*Вывод:* тонкие плёнки обладают низкой электропроводностью, однако, уже начиная с толщины

плёнка из золота должна демонстрировать металлические свойства. При этом, при большем коэффициенте зеркальности поверхности, действительно, удельное сопротивление по мере уменьшения толщины плёнки возрастает в меньшей степени. # 5) Определить эффективную массу носителей заряда, их концентрацию и степень вырождения электронно-дырочного газа в заданном собственном полупроводнике в данном диапазоне температур. Рассчитать и построить зависимости концентрации, подвижности и электропроводности от температуры для заданного примесного полупроводника. ## 5.1) Определить эффективную массу носителей заряда Из табл. 2 известно, что для полупроводника InSb эффективные массы электронов и «дырок» соответственно:

. ## 5.2) Оценка степени вырождения электронного газа Зависимость энергии Ферми от температуры имеет следующий вид:

, где

— ширина запрещённой зоны. (отсчёт идёт от потолка валентной зоны (*E*_*C*). Соответствующее выражение для тепловой энергии:

. Их график представлен на рис. 17.

Рис. 17 График температурной зависимости энергии Ферми и тепловой энергии Как видно из графика, критерий вырожденности

выполняется для всех рассматриваемых температур, следовательно в этих условиях, электронный газ является вырожденным. Это значит, что он описывается распределением Ферми-Дирака:

. Например, для

, распределение показано на рис. 18.

Рис. 18 Распределение Ферми-Дирака носителей заряда по энергиям при

## 5.3) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для собственного полупроводника Зависимости концентрации электронов и дырок от температуры имеют следующий вид:

Их график приведён на рис. 19.

Рис. 19 График зависимостей концентрации электронов и дырок от температуры ## 5.4) Исследование зависимости концентрации носителей заряда от температуры для примесного полупроводника В работе рассмотрена донорная примесь Te с энергией ионизации в кристаллической решётке антимонида индия *E*_*g* = *E*_*d* = 0.003 *эВ*. Её концентрация *N*_*d* = 10²² *м*^-3. Тогда, концентрация электронов в ней равна

Кроме этого, справедливы аппроксимации:

Тогда полная концентрация электронов донорного полупроводника будет суммой концентраций собственного и полученных от донорной примеси.

Рис. 20 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике от обратной температуры

Рис. 21 График зависимости концентрации зарядов в примесном проводнике от температуры По графику определяются температуры перехода к собственной проводимости и истощения примесей: *T*_*s* = 148 *К* (точка пересечения *n*_*d*1(*T*) и *n*(*T*)) и *T*_*i* = 366 *К* (момент, когда *n*_*d1*(*T*) становится больше N_d). Таким образом, I — область примесной ионизации, II — область истощения, III — область собственной ионизации. ## 5.5) Исследование зависимости подвижности от температуры для примесного полупроводника Аппроксимирующие выражения для электронной и дырочной проводимостей:

, где

— подвижности при 300 К. Их график приведён на рис. 22.

Рис. 22 График подвижностей электронов и дырок ## 5.6) Исследование зависимости электропроводности от температуры для примесного полупроводника Электропроводность проводника выражается следующим образом:

, где *p*(*T*) — концентрация дырок из подпункта 5.3, а *n*(*T*) — суммарная концентрация электронов из 5.4. График приведён на рис. 23

Рис. 23 График электропроводности примесного полупроводника *Вывод*: ввиду вырожденности, электронный газ описывается распределением Ферми-Дирака. В собственном полупроводнике количество электронов и дырок равно, поэтому зависимости концентраций совпадают. Добавление донорной примеси увеличивает концентрацию электронов, однако, с ростом температуры они истощаются и полупроводник переходит к собственной ионизации. С ростом температуры за счёт ионизации, а значит увеличения количества носителей заряда, в отличие от металла, проводимость полупроводника растёт. # 6) Рассчитать зависимости энергии Ферми и термодинамической работы выхода для примесного полупроводника от температуры. Термодинамическая работа выхода для собственного полупроводника определяется следующим выражением:

, где *E*_*F*(*T*) — энергия Ферми из п. 5.2,

- энергия сродства Тогда расчёты

;

Для примесного полупроводника, соответственно:

, где *E*_*c* = *E*_*G*; *E*_*d* = *E*_*g*;

И расчёты:

;

Вывод: в примесном полупроводнике энергия Ферми и работа выхода меньше, чем в собственном, но в обоих случаях растут по мере возрастания температуры. # # 7) Построить энергетическую диаграмму заданной пары металл-полупроводник в выбранном масштабе для случаев: без смещения, при прямом и обратном смещениях. Рассчитать вольтамперную характеристику контакта в данном диапазоне температур. ## 7.1) Энергетическая диаграмма

Рис. 24 Энергетическая диаграмма металл-вакуум-полупроводник

Рис. 25 Энергетическая диаграмма металл-полупроводник Вывод: Так как

, следовательно, наблюдается анти-барьер Шоттки, или омический контакт. ## 7.2) Вольт-амперная характеристика В ходе построений было вычислено, что работа выхода из примесного полупроводника

, энергия контактной разности потенциалов

. Тогда, согласно уравнению Ричардсона, плотность тока

. Где

- плотность тока насыщения. Для трёх температур на рис. 28-30 приведены графики ВАХ.

Рис. 28 ВАХ контакта при *T* = 300 *К*

Рис. 29 ВАХ контакта при *T* = 250 *К*

Рис. 30 ВАХ контакта при *T* = 50 *К* Вывод: анти-барьер Шоттки виден и на ВАХ, где в области небольших напряжений выполняется закон Ома. Сопротивление в ней определяется только сопротивлением приконтактной области полупроводника. # 8) Рассчитать концентрацию носителей заряда в заданном полупроводнике для создания омического контакта к металлу. Как видно из п. 7, контакт Au-InSb образует анти-барьер Шоттки, поэтому дополнительно легированный буферный слой не требуется. # 9) Сделать выводы и дать рекомендации по применению исследуемого контакта металл-полупроводник В работе были исследованы металл золото (Au) и полупроводник антимонид индия (InSb). Оба материала имеют гранецентрированную кристаллическую решётку, характеристики каждой были исследованы в п. 1. В п. 2 на основании вычисления концентрации свободных электронов было выяснено, что к металлу неприменима теория свободных электронов. Золото является хорошим проводником, что было подтверждено в п. 3, где была исследована температурная зависимость проводимости и связанные с ней характеристики и влияние на неё дефектов кристаллической решётки. При этом, как показано в п. 4, при толщине менее 60 нм начинает сказываться размерный эффект — при отражении на неровностях теряется импульс по направлению движения электронов, из-за чего сильно возрастает сопротивление. В п. 5 на основании заданных эффективных масс электронов и «дырок» было выяснено, что антимонид индия является вырожденным, а значит, должно использоваться распределение Ферми-Дирака. Однако, далее в расчётах использовались формулы для невырожденного случая. В собственном полупроводнике, действительно, концентрации электронов и «дырок» совпали. С добавлением донорной примеси теллура (Te) при низких температурах концентрация электронов возрастает за счёт ионизации примесей, однако, по мере роста температуры они истощаются и уже при 366 К их вклад становится пренебрежимо мал. Проводимость полупроводника на несколько порядков меньше, чем у металла и возрастает по мере роста температуры. В п. 6 было показано, что добавление примеси в полупроводник уменьшает работу выхода. На основании энергетических диаграмм, построенных в п. 7 было выяснено, что золото и антимонид индия, легированных теллуром образуют омический контакт с высотой барьера

и энергией сродства полупроводника

. Поэтому на вольт-амперной характеристике при небольших напряжениях наблюдается прямой участок, подчиняющийся закону Ома. При этом, так как с ростом напряжении при прямом включении наблюдается значительный рост тока, а при обратном «запирание» диода. Таким образом, полученный контакт можно использовать для соединения полупроводниковых приборов с металлическими выводами. Его удельное сопротивление получается порядка 10^-14 Ом. Однако, уже при напряжениях порядка сотых долей вольта контакт становится выпрямляющим. # Список литературы 1. Ситникова М.В. Методические указания к решению задач на практических занятиях по дисциплине «Основы электроники и радиоматериалы», СпбГЭТУ «ЛЭТИ», 2021 2. Астанин В.В. Электронное строение и кристаллическая структура твердых тел. Учебное пособие. / Уфа: УГАТУ, 2007,- 132с. 3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т.1. М.: Мир, 1979 4. Гольдберг Ю.А. Омический контакт металл--полупроводник AIIIBV: методы создания и свойства // Физика и техника полупроводников. 1994, вып (№) 10. С. 1681-1689